Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24994 / 29082
↖ ↑ ↗
← N 19.839060°
W 42.703858°		 ← 574.60 m → N 19.839060°
W 42.698364°		 →
↑
574.60 m
↓
↑
574.60 m
↓
N 19.833893°
W 42.703858°		 ← 574.62 m →
330 169 m²		 N 19.833893°
W 42.698364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381385803222656 y=0.443763732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381385803222656 × 216)
    floor (0.381385803222656 × 65536)
    floor (24994.5)     		tx = 24994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443763732910156 × 216)
    floor (0.443763732910156 × 65536)
    floor (29082.5)     		ty = 29082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24994 / 29082 ti = "16/24994/29082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24994/29082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24994 ÷ 216
    24994 ÷ 65536     		x = 0.381378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29082 ÷ 216
    29082 ÷ 65536     		y = 0.443756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74532292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443756103515625 × 2 - 1) × π
    0.11248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.353390823999054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74532292} λ = -0.74532292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353390823999054))-π/2
    2×atan(1.42388752411944)-π/2
    2×0.958526622224249-π/2
    1.9170532444485-1.57079632675     		φ = 0.34625692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74532292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.703858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34625692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.839060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24994 KachelY 29082 -0.74532292 0.34625692 -42.703858 19.839060
    Oben rechts KachelX + 1 24995 KachelY 29082 -0.74522704 0.34625692 -42.698364 19.839060
    Unten links KachelX 24994 KachelY + 1 29083 -0.74532292 0.34616673 -42.703858 19.833893
    Unten rechts KachelX + 1 24995 KachelY + 1 29083 -0.74522704 0.34616673 -42.698364 19.833893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34625692-0.34616673) × R
    9.01900000000455e-05 × 6371000     		dl = 574.60049000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34625692-0.34616673) × R
    9.01900000000455e-05 × 6371000     		dr = 574.60049000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74532292--0.74522704) × cos(0.34625692) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.940649623172941 × 6371000     		do = 574.597214476922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74532292--0.74522704) × cos(0.34616673) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.940680227963198 × 6371000     		du = 574.615909458345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34625692)-sin(0.34616673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940649623172941-0.940680227963198)×R²
    abs(-0.74522704--0.74532292)×3.06047902570716e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.06047902570716e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.06047902570716e-05×40589641000000     		ar = 330169.21228783m²