Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24994 / 27103
↖ ↑ ↗
← N 29.692825°
W 42.703858°		 ← 530.64 m → N 29.692825°
W 42.698364°		 →
↑
530.64 m
↓
↑
530.64 m
↓
N 29.688053°
W 42.703858°		 ← 530.67 m →
281 587 m²		 N 29.688053°
W 42.698364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381385803222656 y=0.413566589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381385803222656 × 216)
    floor (0.381385803222656 × 65536)
    floor (24994.5)     		tx = 24994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413566589355469 × 216)
    floor (0.413566589355469 × 65536)
    floor (27103.5)     		ty = 27103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24994 / 27103 ti = "16/24994/27103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24994/27103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24994 ÷ 216
    24994 ÷ 65536     		x = 0.381378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27103 ÷ 216
    27103 ÷ 65536     		y = 0.413558959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74532292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413558959960938 × 2 - 1) × π
    0.172882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.543125072695236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74532292} λ = -0.74532292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.543125072695236))-π/2
    2×atan(1.7213778964398)-π/2
    2×1.04451694135062-π/2
    2.08903388270123-1.57079632675     		φ = 0.51823756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74532292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.703858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51823756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.692825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24994 KachelY 27103 -0.74532292 0.51823756 -42.703858 29.692825
    Oben rechts KachelX + 1 24995 KachelY 27103 -0.74522704 0.51823756 -42.698364 29.692825
    Unten links KachelX 24994 KachelY + 1 27104 -0.74532292 0.51815427 -42.703858 29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 24995 KachelY + 1 27104 -0.74522704 0.51815427 -42.698364 29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51823756-0.51815427) × R
    8.32899999999581e-05 × 6371000     		dl = 530.640589999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51823756-0.51815427) × R
    8.32899999999581e-05 × 6371000     		dr = 530.640589999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74532292--0.74522704) × cos(0.51823756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.868693552847088 × 6371000     		do = 530.642742423369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74532292--0.74522704) × cos(0.51815427) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 530.667942905055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51823756)-sin(0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868693552847088-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.74522704--0.74532292)×4.12546789376744e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.12546789376744e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.12546789376744e-05×40589641000000     		ar = 281587.264280635m²