Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24994 / 24954
↖ ↑ ↗
← S 68.114294°
E 94.592285°		 ← 455.37 m → S 68.114294°
E 94.603271°		 →
↑
455.34 m
↓
↑
455.34 m
↓
S 68.118388°
E 94.592285°		 ← 455.29 m →
207 329 m²		 S 68.118388°
E 94.603271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762771606445312 y=0.761550903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762771606445312 × 215)
    floor (0.762771606445312 × 32768)
    floor (24994.5)     		tx = 24994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761550903320312 × 215)
    floor (0.761550903320312 × 32768)
    floor (24954.5)     		ty = 24954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24994 / 24954 ti = "15/24994/24954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24994/24954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24994 ÷ 215
    24994 ÷ 32768     		x = 0.76275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24954 ÷ 215
    24954 ÷ 32768     		y = 0.76153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76275634765625 × 2 - 1) × π
    0.5255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65094682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65094682} λ = 1.65094682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64327691897552))-π/2
    2×atan(0.193345425770781)-π/2
    2×0.190988819459237-π/2
    0.381977638918473-1.57079632675     		φ = -1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65094682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24994 KachelY 24954 1.65094682 -1.18881869 94.592285 -68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 24995 KachelY 24954 1.65113857 -1.18881869 94.603271 -68.114294
    Unten links KachelX 24994 KachelY + 1 24955 1.65094682 -1.18889016 94.592285 -68.118388
    Unten rechts KachelX + 1 24995 KachelY + 1 24955 1.65113857 -1.18889016 94.603271 -68.118388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18881869--1.18889016) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dl = 455.33536999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18881869--1.18889016) × R
    7.14699999999624e-05 × 6371000     		dr = 455.33536999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65094682-1.65113857) × cos(-1.18881869) × R
    0.000191750000000157 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 455.373731927502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65094682-1.65113857) × cos(-1.18889016) × R
    0.000191750000000157 × 0.372689984168587 × 6371000     		du = 455.292712742597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18881869)-sin(-1.18889016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372689984168587)×R²
    abs(1.65113857-1.65094682)×6.63200571729972e-05×R²
    0.000191750000000157×6.63200571729972e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.63200571729972e-05×40589641000000     		ar = 207329.321353548m²