Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24993 / 27107
↖ ↑ ↗
← N 29.673735°
W 42.709351°		 ← 530.69 m → N 29.673735°
W 42.703858°		 →
↑
530.70 m
↓
↑
530.70 m
↓
N 29.668962°
W 42.709351°		 ← 530.71 m →
281 645 m²		 N 29.668962°
W 42.703858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381370544433594 y=0.413627624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381370544433594 × 216)
    floor (0.381370544433594 × 65536)
    floor (24993.5)     		tx = 24993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413627624511719 × 216)
    floor (0.413627624511719 × 65536)
    floor (27107.5)     		ty = 27107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24993 / 27107 ti = "16/24993/27107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24993/27107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24993 ÷ 216
    24993 ÷ 65536     		x = 0.381362915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27107 ÷ 216
    27107 ÷ 65536     		y = 0.413619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.237274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74541879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413619995117188 × 2 - 1) × π
    0.172760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.542741577498276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74541879} λ = -0.74541879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.542741577498276))-π/2
    2×atan(1.72071788284847)-π/2
    2×1.04435035562857-π/2
    2.08870071125713-1.57079632675     		φ = 0.51790438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74541879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.709351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51790438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.673735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24993 KachelY 27107 -0.74541879 0.51790438 -42.709351 29.673735
    Oben rechts KachelX + 1 24994 KachelY 27107 -0.74532292 0.51790438 -42.703858 29.673735
    Unten links KachelX 24993 KachelY + 1 27108 -0.74541879 0.51782108 -42.709351 29.668962
    Unten rechts KachelX + 1 24994 KachelY + 1 27108 -0.74532292 0.51782108 -42.703858 29.668962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51790438-0.51782108) × R
    8.33000000000084e-05 × 6371000     		dl = 530.704300000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51790438-0.51782108) × R
    8.33000000000084e-05 × 6371000     		dr = 530.704300000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74541879--0.74532292) × cos(0.51790438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868858545303255 × 6371000     		do = 530.688173331208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74541879--0.74532292) × cos(0.51782108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868899780822477 × 6371000     		du = 530.713359482038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51790438)-sin(0.51782108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868858545303255-0.868899780822477)×R²
    abs(-0.74532292--0.74541879)×4.12355192219716e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12355192219716e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12355192219716e-05×40589641000000     		ar = 281645.17890817m²