Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24993 / 24863
↖ ↑ ↗
← S 67.738598°
E 94.581299°		 ← 462.77 m → S 67.738598°
E 94.592285°		 →
↑
462.73 m
↓
↑
462.73 m
↓
S 67.742759°
E 94.581299°		 ← 462.69 m →
214 118 m²		 S 67.742759°
E 94.592285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762741088867188 y=0.758773803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762741088867188 × 215)
    floor (0.762741088867188 × 32768)
    floor (24993.5)     		tx = 24993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758773803710938 × 215)
    floor (0.758773803710938 × 32768)
    floor (24863.5)     		ty = 24863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24993 / 24863 ti = "15/24993/24863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24993/24863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24993 ÷ 215
    24993 ÷ 32768     		x = 0.762725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24863 ÷ 215
    24863 ÷ 32768     		y = 0.758758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762725830078125 × 2 - 1) × π
    0.52545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65075508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.51751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62582788751382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65075508} λ = 1.65075508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62582788751382))-π/2
    2×atan(0.196748721949756)-π/2
    2×0.194267385274686-π/2
    0.388534770549372-1.57079632675     		φ = -1.18226156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65075508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.581299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18226156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.738598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24993 KachelY 24863 1.65075508 -1.18226156 94.581299 -67.738598
    Oben rechts KachelX + 1 24994 KachelY 24863 1.65094682 -1.18226156 94.592285 -67.738598
    Unten links KachelX 24993 KachelY + 1 24864 1.65075508 -1.18233419 94.581299 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 24994 KachelY + 1 24864 1.65094682 -1.18233419 94.592285 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18226156--1.18233419) × R
    7.2630000000018e-05 × 6371000     		dl = 462.725730000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18226156--1.18233419) × R
    7.2630000000018e-05 × 6371000     		dr = 462.725730000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65075508-1.65094682) × cos(-1.18226156) × R
    0.000191739999999996 × 0.378832800027108 × 6371000     		do = 462.772882262816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65075508-1.65094682) × cos(-1.18233419) × R
    0.000191739999999996 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 462.690770970311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18226156)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378832800027108-0.378765582495472)×R²
    abs(1.65094682-1.65075508)×6.72175316354662e-05×R²
    0.000191739999999996×6.72175316354662e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.72175316354662e-05×40589641000000     		ar = 214117.922359612m²