Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24992 / 29153
↖ ↑ ↗
← N 19.471771°
W 42.714844°		 ← 575.85 m → N 19.471771°
W 42.709351°		 →
↑
575.87 m
↓
↑
575.87 m
↓
N 19.466592°
W 42.714844°		 ← 575.87 m →
331 625 m²		 N 19.466592°
W 42.709351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381355285644531 y=0.444847106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381355285644531 × 216)
    floor (0.381355285644531 × 65536)
    floor (24992.5)     		tx = 24992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444847106933594 × 216)
    floor (0.444847106933594 × 65536)
    floor (29153.5)     		ty = 29153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24992 / 29153 ti = "16/24992/29153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24992/29153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24992 ÷ 216
    24992 ÷ 65536     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29153 ÷ 216
    29153 ÷ 65536     		y = 0.444839477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444839477539062 × 2 - 1) × π
    0.110321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.346583784253006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346583784253006))-π/2
    2×atan(1.41422797890149)-π/2
    2×0.955321423601317-π/2
    1.91064284720263-1.57079632675     		φ = 0.33984652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33984652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.471771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24992 KachelY 29153 -0.74551466 0.33984652 -42.714844 19.471771
    Oben rechts KachelX + 1 24993 KachelY 29153 -0.74541879 0.33984652 -42.709351 19.471771
    Unten links KachelX 24992 KachelY + 1 29154 -0.74551466 0.33975613 -42.714844 19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 24993 KachelY + 1 29154 -0.74541879 0.33975613 -42.709351 19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33984652-0.33975613) × R
    9.03899999999958e-05 × 6371000     		dl = 575.874689999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33984652-0.33975613) × R
    9.03899999999958e-05 × 6371000     		dr = 575.874689999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(0.33984652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942805838023231 × 6371000     		do = 575.854275349178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(0.33975613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 575.87267653244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33984652)-sin(0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942805838023231-0.942835964990676)×R²
    abs(-0.74541879--0.74551466)×3.01269674453097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01269674453097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01269674453097e-05×40589641000000     		ar = 331625.200915452m²