Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24992 / 29088
↖ ↑ ↗
← N 19.808054°
W 42.714844°		 ← 574.65 m → N 19.808054°
W 42.709351°		 →
↑
574.66 m
↓
↑
574.66 m
↓
N 19.802886°
W 42.714844°		 ← 574.67 m →
330 236 m²		 N 19.802886°
W 42.709351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381355285644531 y=0.443855285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381355285644531 × 216)
    floor (0.381355285644531 × 65536)
    floor (24992.5)     		tx = 24992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443855285644531 × 216)
    floor (0.443855285644531 × 65536)
    floor (29088.5)     		ty = 29088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24992 / 29088 ti = "16/24992/29088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24992/29088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24992 ÷ 216
    24992 ÷ 65536     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29088 ÷ 216
    29088 ÷ 65536     		y = 0.44384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    0.1123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.352815581203613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352815581203613))-π/2
    2×atan(1.42306867861974)-π/2
    2×0.958256044866905-π/2
    1.91651208973381-1.57079632675     		φ = 0.34571576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34571576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.808054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24992 KachelY 29088 -0.74551466 0.34571576 -42.714844 19.808054
    Oben rechts KachelX + 1 24993 KachelY 29088 -0.74541879 0.34571576 -42.709351 19.808054
    Unten links KachelX 24992 KachelY + 1 29089 -0.74551466 0.34562556 -42.714844 19.802886
    Unten rechts KachelX + 1 24993 KachelY + 1 29089 -0.74541879 0.34562556 -42.709351 19.802886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34571576-0.34562556) × R
    9.01999999999847e-05 × 6371000     		dl = 574.664199999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34571576-0.34562556) × R
    9.01999999999847e-05 × 6371000     		dr = 574.664199999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(0.34571576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940833143911184 × 6371000     		do = 574.649377911589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74541879) × cos(0.34562556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940863706173575 × 6371000     		du = 574.66804496768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34571576)-sin(0.34562556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940833143911184-0.940863706173575)×R²
    abs(-0.74541879--0.74551466)×3.0562262390732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0562262390732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0562262390732e-05×40589641000000     		ar = 330235.788906273m²