Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24992 / 24873
↖ ↑ ↗
← S 67.780180°
E 94.570313°		 ← 461.98 m → S 67.780180°
E 94.581299°		 →
↑
461.96 m
↓
↑
461.96 m
↓
S 67.784335°
E 94.570313°		 ← 461.89 m →
213 396 m²		 S 67.784335°
E 94.581299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762710571289062 y=0.759078979492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762710571289062 × 215)
    floor (0.762710571289062 × 32768)
    floor (24992.5)     		tx = 24992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759078979492188 × 215)
    floor (0.759078979492188 × 32768)
    floor (24873.5)     		ty = 24873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24992 / 24873 ti = "15/24992/24873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24992/24873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24992 ÷ 215
    24992 ÷ 32768     		x = 0.7626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24873 ÷ 215
    24873 ÷ 32768     		y = 0.759063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    0.525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65056333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.51812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62774536349863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65056333} λ = 1.65056333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62774536349863))-π/2
    2×atan(0.196371822463713)-π/2
    2×0.193904505975357-π/2
    0.387809011950713-1.57079632675     		φ = -1.18298731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65056333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.570313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18298731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.780180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24992 KachelY 24873 1.65056333 -1.18298731 94.570313 -67.780180
    Oben rechts KachelX + 1 24993 KachelY 24873 1.65075508 -1.18298731 94.581299 -67.780180
    Unten links KachelX 24992 KachelY + 1 24874 1.65056333 -1.18305982 94.570313 -67.784335
    Unten rechts KachelX + 1 24993 KachelY + 1 24874 1.65075508 -1.18305982 94.581299 -67.784335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18298731--1.18305982) × R
    7.25100000000811e-05 × 6371000     		dl = 461.961210000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18298731--1.18305982) × R
    7.25100000000811e-05 × 6371000     		dr = 461.961210000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65056333-1.65075508) × cos(-1.18298731) × R
    0.000191749999999935 × 0.378161043998795 × 6371000     		do = 461.976374169748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65056333-1.65075508) × cos(-1.18305982) × R
    0.000191749999999935 × 0.378093917609967 × 6371000     		du = 461.894369938445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18298731)-sin(-1.18305982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378161043998795-0.378093917609967)×R²
    abs(1.65075508-1.65056333)×6.71263888281093e-05×R²
    0.000191749999999935×6.71263888281093e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.71263888281093e-05×40589641000000     		ar = 213396.22350944m²