Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24991 / 29029
↖ ↑ ↗
← N 20.112681°
W 42.720337°		 ← 573.60 m → N 20.112681°
W 42.714844°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
N 20.107524°
W 42.720337°		 ← 573.62 m →
328 975 m²		 N 20.107524°
W 42.714844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381340026855469 y=0.442955017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381340026855469 × 216)
    floor (0.381340026855469 × 65536)
    floor (24991.5)     		tx = 24991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442955017089844 × 216)
    floor (0.442955017089844 × 65536)
    floor (29029.5)     		ty = 29029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24991 / 29029 ti = "16/24991/29029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24991/29029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24991 ÷ 216
    24991 ÷ 65536     		x = 0.381332397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29029 ÷ 216
    29029 ÷ 65536     		y = 0.442947387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381332397460938 × 2 - 1) × π
    -0.237335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74561054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442947387695312 × 2 - 1) × π
    0.114105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.35847213535878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74561054} λ = -0.74561054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35847213535878))-π/2
    2×atan(1.43114115333777)-π/2
    2×0.960914420485297-π/2
    1.92182884097059-1.57079632675     		φ = 0.35103251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74561054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.720337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35103251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.112681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24991 KachelY 29029 -0.74561054 0.35103251 -42.720337 20.112681
    Oben rechts KachelX + 1 24992 KachelY 29029 -0.74551466 0.35103251 -42.714844 20.112681
    Unten links KachelX 24991 KachelY + 1 29030 -0.74561054 0.35094249 -42.720337 20.107524
    Unten rechts KachelX + 1 24992 KachelY + 1 29030 -0.74551466 0.35094249 -42.714844 20.107524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35103251-0.35094249) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dl = 573.517420000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35103251-0.35094249) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dr = 573.517420000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74561054--0.74551466) × cos(0.35103251) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939018166773379 × 6371000     		do = 573.600636920694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74561054--0.74551466) × cos(0.35094249) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.939049117924235 × 6371000     		du = 573.619543477001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35103251)-sin(0.35094249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939018166773379-0.939049117924235)×R²
    abs(-0.74551466--0.74561054)×3.0951150855163e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.0951150855163e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.0951150855163e-05×40589641000000     		ar = 328975.379239045m²