Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24990 / 24934
↖ ↑ ↗
← S 68.032243°
E 94.548340°		 ← 457 m → S 68.032243°
E 94.559326°		 →
↑
456.93 m
↓
↑
456.93 m
↓
S 68.036352°
E 94.548340°		 ← 456.92 m →
208 796 m²		 S 68.036352°
E 94.559326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762649536132812 y=0.760940551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762649536132812 × 215)
    floor (0.762649536132812 × 32768)
    floor (24990.5)     		tx = 24990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760940551757812 × 215)
    floor (0.760940551757812 × 32768)
    floor (24934.5)     		ty = 24934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24990 / 24934 ti = "15/24990/24934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24990/24934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24990 ÷ 215
    24990 ÷ 32768     		x = 0.76263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24934 ÷ 215
    24934 ÷ 32768     		y = 0.76092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    0.5252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65017983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.5218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65017983} λ = 1.65017983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63944196700592))-π/2
    2×atan(0.194088319763074)-π/2
    2×0.191704843734037-π/2
    0.383409687468075-1.57079632675     		φ = -1.18738664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65017983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.548340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18738664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.032243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24990 KachelY 24934 1.65017983 -1.18738664 94.548340 -68.032243
    Oben rechts KachelX + 1 24991 KachelY 24934 1.65037158 -1.18738664 94.559326 -68.032243
    Unten links KachelX 24990 KachelY + 1 24935 1.65017983 -1.18745836 94.548340 -68.036352
    Unten rechts KachelX + 1 24991 KachelY + 1 24935 1.65037158 -1.18745836 94.559326 -68.036352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18738664--1.18745836) × R
    7.17199999999973e-05 × 6371000     		dl = 456.928119999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18738664--1.18745836) × R
    7.17199999999973e-05 × 6371000     		dr = 456.928119999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65017983-1.65037158) × cos(-1.18738664) × R
    0.000191750000000157 × 0.374084762670352 × 6371000     		do = 456.996628905411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65017983-1.65037158) × cos(-1.18745836) × R
    0.000191750000000157 × 0.374018248973542 × 6371000     		du = 456.915373162726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18738664)-sin(-1.18745836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374084762670352-0.374018248973542)×R²
    abs(1.65037158-1.65017983)×6.65136968098778e-05×R²
    0.000191750000000157×6.65136968098778e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.65136968098778e-05×40589641000000     		ar = 208796.046564486m²