Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24990 / 24927
↖ ↑ ↗
← S 68.003457°
E 94.548340°		 ← 457.57 m → S 68.003457°
E 94.559326°		 →
↑
457.50 m
↓
↑
457.50 m
↓
S 68.007571°
E 94.548340°		 ← 457.48 m →
209 318 m²		 S 68.007571°
E 94.559326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762649536132812 y=0.760726928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762649536132812 × 215)
    floor (0.762649536132812 × 32768)
    floor (24990.5)     		tx = 24990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760726928710938 × 215)
    floor (0.760726928710938 × 32768)
    floor (24927.5)     		ty = 24927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24990 / 24927 ti = "15/24990/24927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24990/24927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24990 ÷ 215
    24990 ÷ 32768     		x = 0.76263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24927 ÷ 215
    24927 ÷ 32768     		y = 0.760711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    0.5252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65017983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.52142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63809973381656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65017983} λ = 1.65017983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63809973381656))-π/2
    2×atan(0.194349006459558)-π/2
    2×0.191956054534558-π/2
    0.383912109069116-1.57079632675     		φ = -1.18688422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65017983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.548340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18688422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.003457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24990 KachelY 24927 1.65017983 -1.18688422 94.548340 -68.003457
    Oben rechts KachelX + 1 24991 KachelY 24927 1.65037158 -1.18688422 94.559326 -68.003457
    Unten links KachelX 24990 KachelY + 1 24928 1.65017983 -1.18695603 94.548340 -68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 24991 KachelY + 1 24928 1.65037158 -1.18695603 94.559326 -68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18688422--1.18695603) × R
    7.18099999998945e-05 × 6371000     		dl = 457.501509999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18688422--1.18695603) × R
    7.18099999998945e-05 × 6371000     		dr = 457.501509999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65017983-1.65037158) × cos(-1.18688422) × R
    0.000191750000000157 × 0.374550656989696 × 6371000     		do = 457.565783692274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65017983-1.65037158) × cos(-1.18695603) × R
    0.000191750000000157 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 457.48444247858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18688422)-sin(-1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374550656989696-0.374484073328689)×R²
    abs(1.65037158-1.65017983)×6.65836610068138e-05×R²
    0.000191750000000157×6.65836610068138e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.65836610068138e-05×40589641000000     		ar = 209318.430189358m²