Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24988 / 24892
↖ ↑ ↗
← S 67.858985°
E 94.526367°		 ← 460.40 m → S 67.858985°
E 94.537353°		 →
↑
460.37 m
↓
↑
460.37 m
↓
S 67.863125°
E 94.526367°		 ← 460.31 m →
211 933 m²		 S 67.863125°
E 94.537353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762588500976562 y=0.759658813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762588500976562 × 215)
    floor (0.762588500976562 × 32768)
    floor (24988.5)     		tx = 24988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759658813476562 × 215)
    floor (0.759658813476562 × 32768)
    floor (24892.5)     		ty = 24892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24988 / 24892 ti = "15/24988/24892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24988/24892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24988 ÷ 215
    24988 ÷ 32768     		x = 0.7625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24892 ÷ 215
    24892 ÷ 32768     		y = 0.7596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    0.525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64979634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63138856786975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64979634} λ = 1.64979634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63138856786975))-π/2
    2×atan(0.195657701416082)-π/2
    2×0.193216807554791-π/2
    0.386433615109582-1.57079632675     		φ = -1.18436271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64979634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18436271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.858985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24988 KachelY 24892 1.64979634 -1.18436271 94.526367 -67.858985
    Oben rechts KachelX + 1 24989 KachelY 24892 1.64998808 -1.18436271 94.537353 -67.858985
    Unten links KachelX 24988 KachelY + 1 24893 1.64979634 -1.18443497 94.526367 -67.863125
    Unten rechts KachelX + 1 24989 KachelY + 1 24893 1.64998808 -1.18443497 94.537353 -67.863125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18436271--1.18443497) × R
    7.22600000000462e-05 × 6371000     		dl = 460.368460000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18436271--1.18443497) × R
    7.22600000000462e-05 × 6371000     		dr = 460.368460000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64979634-1.64998808) × cos(-1.18436271) × R
    0.000191739999999996 × 0.37688742415571 × 6371000     		do = 460.39645868221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64979634-1.64998808) × cos(-1.18443497) × R
    0.000191739999999996 × 0.376820491691224 × 6371000     		du = 460.314695620763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18436271)-sin(-1.18443497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37688742415571-0.376820491691224)×R²
    abs(1.64998808-1.64979634)×6.69324644857472e-05×R²
    0.000191739999999996×6.69324644857472e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.69324644857472e-05×40589641000000     		ar = 211933.188198225m²