Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24984 / 25176
↖ ↑ ↗
← S 69.005675°
E 94.482422°		 ← 437.66 m → S 69.005675°
E 94.493408°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 69.009611°
E 94.482422°		 ← 437.58 m →
191 541 m²		 S 69.009611°
E 94.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762466430664062 y=0.768325805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762466430664062 × 215)
    floor (0.762466430664062 × 32768)
    floor (24984.5)     		tx = 24984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768325805664062 × 215)
    floor (0.768325805664062 × 32768)
    floor (25176.5)     		ty = 25176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24984 / 25176 ti = "15/24984/25176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24984/25176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24984 ÷ 215
    24984 ÷ 32768     		x = 0.762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25176 ÷ 215
    25176 ÷ 32768     		y = 0.768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762451171875 × 2 - 1) × π
    0.52490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64902935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.53662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68584488583813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64902935} λ = 1.64902935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68584488583813))-π/2
    2×atan(0.185287818751106)-π/2
    2×0.183210046034955-π/2
    0.366420092069911-1.57079632675     		φ = -1.20437623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64902935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.482422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20437623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.005675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24984 KachelY 25176 1.64902935 -1.20437623 94.482422 -69.005675
    Oben rechts KachelX + 1 24985 KachelY 25176 1.64922109 -1.20437623 94.493408 -69.005675
    Unten links KachelX 24984 KachelY + 1 25177 1.64902935 -1.20444493 94.482422 -69.009611
    Unten rechts KachelX + 1 24985 KachelY + 1 25177 1.64922109 -1.20444493 94.493408 -69.009611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20437623--1.20444493) × R
    6.86999999999216e-05 × 6371000     		dl = 437.687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20437623--1.20444493) × R
    6.86999999999216e-05 × 6371000     		dr = 437.687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64902935-1.64922109) × cos(-1.20437623) × R
    0.000191739999999996 × 0.358275480265027 × 6371000     		do = 437.6605632735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64902935-1.64922109) × cos(-1.20444493) × R
    0.000191739999999996 × 0.358211340006114 × 6371000     		du = 437.582211102083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20437623)-sin(-1.20444493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358275480265027-0.358211340006114)×R²
    abs(1.64922109-1.64902935)×6.41402589133255e-05×R²
    0.000191739999999996×6.41402589133255e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.41402589133255e-05×40589641000000     		ar = 191541.498503858m²