Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24981 / 41941
↖ ↑ ↗
← S 44.922029°
W 42.775268°		 ← 432.48 m → S 44.922029°
W 42.769775°		 →
↑
432.46 m
↓
↑
432.46 m
↓
S 44.925918°
W 42.775268°		 ← 432.45 m →
187 025 m²		 S 44.925918°
W 42.769775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381187438964844 y=0.639976501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381187438964844 × 216)
    floor (0.381187438964844 × 65536)
    floor (24981.5)     		tx = 24981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639976501464844 × 216)
    floor (0.639976501464844 × 65536)
    floor (41941.5)     		ty = 41941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24981 / 41941 ti = "16/24981/41941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24981/41941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24981 ÷ 216
    24981 ÷ 65536     		x = 0.381179809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41941 ÷ 216
    41941 ÷ 65536     		y = 0.639968872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381179809570312 × 2 - 1) × π
    -0.237640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74656927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639968872070312 × 2 - 1) × π
    -0.279937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87945036042955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74656927} λ = -0.74656927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87945036042955))-π/2
    2×atan(0.415010955448186)-π/2
    2×0.393379507330275-π/2
    0.786759014660549-1.57079632675     		φ = -0.78403731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74656927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.775268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78403731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.922029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24981 KachelY 41941 -0.74656927 -0.78403731 -42.775268 -44.922029
    Oben rechts KachelX + 1 24982 KachelY 41941 -0.74647340 -0.78403731 -42.769775 -44.922029
    Unten links KachelX 24981 KachelY + 1 41942 -0.74656927 -0.78410519 -42.775268 -44.925918
    Unten rechts KachelX + 1 24982 KachelY + 1 41942 -0.74647340 -0.78410519 -42.769775 -44.925918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78403731--0.78410519) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dl = 432.463480000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78403731--0.78410519) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dr = 432.463480000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74656927--0.74647340) × cos(-0.78403731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708068394801886 × 6371000     		do = 432.479515868514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74656927--0.74647340) × cos(-0.78410519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708020460125556 × 6371000     		du = 432.450237954453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78403731)-sin(-0.78410519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708068394801886-0.708020460125556)×R²
    abs(-0.74647340--0.74656927)×4.79346763300192e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79346763300192e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79346763300192e-05×40589641000000     		ar = 187025.265718733m²