Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24981 / 29212
↖ ↑ ↗
← N 19.165924°
W 42.775268°		 ← 576.93 m → N 19.165924°
W 42.769775°		 →
↑
576.96 m
↓
↑
576.96 m
↓
N 19.160735°
W 42.775268°		 ← 576.95 m →
332 871 m²		 N 19.160735°
W 42.769775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381187438964844 y=0.445747375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381187438964844 × 216)
    floor (0.381187438964844 × 65536)
    floor (24981.5)     		tx = 24981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445747375488281 × 216)
    floor (0.445747375488281 × 65536)
    floor (29212.5)     		ty = 29212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24981 / 29212 ti = "16/24981/29212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24981/29212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24981 ÷ 216
    24981 ÷ 65536     		x = 0.381179809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29212 ÷ 216
    29212 ÷ 65536     		y = 0.44573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381179809570312 × 2 - 1) × π
    -0.237640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74656927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340927230097839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74656927} λ = -0.74656927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340927230097839))-π/2
    2×atan(1.40625090439798)-π/2
    2×0.952652404599669-π/2
    1.90530480919934-1.57079632675     		φ = 0.33450848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74656927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.775268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33450848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.165924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24981 KachelY 29212 -0.74656927 0.33450848 -42.775268 19.165924
    Oben rechts KachelX + 1 24982 KachelY 29212 -0.74647340 0.33450848 -42.769775 19.165924
    Unten links KachelX 24981 KachelY + 1 29213 -0.74656927 0.33441792 -42.775268 19.160735
    Unten rechts KachelX + 1 24982 KachelY + 1 29213 -0.74647340 0.33441792 -42.769775 19.160735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33450848-0.33441792) × R
    9.05600000000173e-05 × 6371000     		dl = 576.95776000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33450848-0.33441792) × R
    9.05600000000173e-05 × 6371000     		dr = 576.95776000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74656927--0.74647340) × cos(0.33450848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94457179216757 × 6371000     		do = 576.932898542921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74656927--0.74647340) × cos(0.33441792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944601519589048 × 6371000     		du = 576.951055688393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33450848)-sin(0.33441792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94457179216757-0.944601519589048)×R²
    abs(-0.74647340--0.74656927)×2.97274214779986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97274214779986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97274214779986e-05×40589641000000     		ar = 332871.150994216m²