Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24980 / 25117
↖ ↑ ↗
← S 68.772214°
E 94.438477°		 ← 442.30 m → S 68.772214°
E 94.449463°		 →
↑
442.27 m
↓
↑
442.27 m
↓
S 68.776191°
E 94.438477°		 ← 442.22 m →
195 602 m²		 S 68.776191°
E 94.449463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762344360351562 y=0.766525268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762344360351562 × 215)
    floor (0.762344360351562 × 32768)
    floor (24980.5)     		tx = 24980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766525268554688 × 215)
    floor (0.766525268554688 × 32768)
    floor (25117.5)     		ty = 25117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24980 / 25117 ti = "15/24980/25117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24980/25117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24980 ÷ 215
    24980 ÷ 32768     		x = 0.7623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25117 ÷ 215
    25117 ÷ 32768     		y = 0.766510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7623291015625 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64826236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.53302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6745317775278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64826236} λ = 1.64826236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6745317775278))-π/2
    2×atan(0.187395901916022)-π/2
    2×0.185247385422486-π/2
    0.370494770844972-1.57079632675     		φ = -1.20030156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64826236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20030156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.772214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24980 KachelY 25117 1.64826236 -1.20030156 94.438477 -68.772214
    Oben rechts KachelX + 1 24981 KachelY 25117 1.64845410 -1.20030156 94.449463 -68.772214
    Unten links KachelX 24980 KachelY + 1 25118 1.64826236 -1.20037098 94.438477 -68.776191
    Unten rechts KachelX + 1 24981 KachelY + 1 25118 1.64845410 -1.20037098 94.449463 -68.776191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20030156--1.20037098) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dl = 442.274819999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20030156--1.20037098) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dr = 442.274819999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64826236-1.64845410) × cos(-1.20030156) × R
    0.000191739999999996 × 0.362076672298046 × 6371000     		do = 442.304006483879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64826236-1.64845410) × cos(-1.20037098) × R
    0.000191739999999996 × 0.36201196168954 × 6371000     		du = 442.224957587349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20030156)-sin(-1.20037098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362076672298046-0.36201196168954)×R²
    abs(1.64845410-1.64826236)×6.47106085064353e-05×R²
    0.000191739999999996×6.47106085064353e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.47106085064353e-05×40589641000000     		ar = 195602.444262979m²