Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 24976 / 57327
↖ ↑ ↗
← N 21.986348°
W111.401367°		 ← 283.21 m → N 21.986348°
W111.398621°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.983802°
W111.401367°		 ← 283.22 m →
80 204 m²		 N 21.983802°
W111.398621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190555572509766 y=0.437374114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190555572509766 × 217)
    floor (0.190555572509766 × 131072)
    floor (24976.5)     		tx = 24976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437374114990234 × 217)
    floor (0.437374114990234 × 131072)
    floor (57327.5)     		ty = 57327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24976 / 57327 ti = "17/24976/57327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24976/57327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24976 ÷ 217
    24976 ÷ 131072     		x = 0.1905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57327 ÷ 217
    57327 ÷ 131072     		y = 0.437370300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.94432065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437370300292969 × 2 - 1) × π
    0.125259399414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.393514008981041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94432065} λ = -1.94432065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393514008981041))-π/2
    2×atan(1.48218004741884)-π/2
    2×0.97726524730904-π/2
    1.95453049461808-1.57079632675     		φ = 0.38373417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94432065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38373417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.986348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24976 KachelY 57327 -1.94432065 0.38373417 -111.401367 21.986348
    Oben rechts KachelX + 1 24977 KachelY 57327 -1.94427271 0.38373417 -111.398621 21.986348
    Unten links KachelX 24976 KachelY + 1 57328 -1.94432065 0.38368972 -111.401367 21.983802
    Unten rechts KachelX + 1 24977 KachelY + 1 57328 -1.94427271 0.38368972 -111.398621 21.983802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38373417-0.38368972) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dl = 283.190949999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38373417-0.38368972) × R
    4.44499999999737e-05 × 6371000     		dr = 283.190949999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94432065--1.94427271) × cos(0.38373417) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.927273084051975 × 6371000     		do = 283.213067879783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94432065--1.94427271) × cos(0.38368972) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.927289724578809 × 6371000     		du = 283.218150325005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38373417)-sin(0.38368972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927273084051975-0.927289724578809)×R²
    abs(-1.94427271--1.94432065)×1.66405268346992e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66405268346992e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66405268346992e-05×40589641000000     		ar = 80204.0974096751m²