Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24970 / 29206
↖ ↑ ↗
← N 19.197053°
W 42.835694°		 ← 576.88 m → N 19.197053°
W 42.830200°		 →
↑
576.83 m
↓
↑
576.83 m
↓
N 19.191866°
W 42.835694°		 ← 576.90 m →
332 769 m²		 N 19.191866°
W 42.830200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381019592285156 y=0.445655822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381019592285156 × 216)
    floor (0.381019592285156 × 65536)
    floor (24970.5)     		tx = 24970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445655822753906 × 216)
    floor (0.445655822753906 × 65536)
    floor (29206.5)     		ty = 29206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24970 / 29206 ti = "16/24970/29206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24970/29206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24970 ÷ 216
    24970 ÷ 65536     		x = 0.381011962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29206 ÷ 216
    29206 ÷ 65536     		y = 0.445648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381011962890625 × 2 - 1) × π
    -0.23797607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74762389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    0.10870361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34150247289328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74762389} λ = -0.74762389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34150247289328))-π/2
    2×atan(1.40706007281115)-π/2
    2×0.952924057992821-π/2
    1.90584811598564-1.57079632675     		φ = 0.33505179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74762389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.835694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33505179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.197053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24970 KachelY 29206 -0.74762389 0.33505179 -42.835694 19.197053
    Oben rechts KachelX + 1 24971 KachelY 29206 -0.74752801 0.33505179 -42.830200 19.197053
    Unten links KachelX 24970 KachelY + 1 29207 -0.74762389 0.33496125 -42.835694 19.191866
    Unten rechts KachelX + 1 24971 KachelY + 1 29207 -0.74752801 0.33496125 -42.830200 19.191866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33505179-0.33496125) × R
    9.05400000000278e-05 × 6371000     		dl = 576.830340000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33505179-0.33496125) × R
    9.05400000000278e-05 × 6371000     		dr = 576.830340000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74762389--0.74752801) × cos(0.33505179) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944393281410792 × 6371000     		do = 576.884033651461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74762389--0.74752801) × cos(0.33496125) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.944423048728927 × 6371000     		du = 576.902217061799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33505179)-sin(0.33496125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944393281410792-0.944423048728927)×R²
    abs(-0.74752801--0.74762389)×2.97673181346436e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97673181346436e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97673181346436e-05×40589641000000     		ar = 332769.457870574m²