Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24970 / 24450
↖ ↑ ↗
← S 65.955426°
E 94.328613°		 ← 497.75 m → S 65.955426°
E 94.339600°		 →
↑
497.70 m
↓
↑
497.70 m
↓
S 65.959902°
E 94.328613°		 ← 497.67 m →
247 711 m²		 S 65.959902°
E 94.339600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762039184570312 y=0.746170043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762039184570312 × 215)
    floor (0.762039184570312 × 32768)
    floor (24970.5)     		tx = 24970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746170043945312 × 215)
    floor (0.746170043945312 × 32768)
    floor (24450.5)     		ty = 24450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24970 / 24450 ti = "15/24970/24450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24970/24450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24970 ÷ 215
    24970 ÷ 32768     		x = 0.76202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24450 ÷ 215
    24450 ÷ 32768     		y = 0.74615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76202392578125 × 2 - 1) × π
    0.5240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64634488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54663612934149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64634488} λ = 1.64634488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54663612934149))-π/2
    2×atan(0.212963150765197)-π/2
    2×0.209828491413979-π/2
    0.419656982827959-1.57079632675     		φ = -1.15113934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64634488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.328613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15113934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.955426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24970 KachelY 24450 1.64634488 -1.15113934 94.328613 -65.955426
    Oben rechts KachelX + 1 24971 KachelY 24450 1.64653663 -1.15113934 94.339600 -65.955426
    Unten links KachelX 24970 KachelY + 1 24451 1.64634488 -1.15121746 94.328613 -65.959902
    Unten rechts KachelX + 1 24971 KachelY + 1 24451 1.64653663 -1.15121746 94.339600 -65.959902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15113934--1.15121746) × R
    7.81199999999593e-05 × 6371000     		dl = 497.702519999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15113934--1.15121746) × R
    7.81199999999593e-05 × 6371000     		dr = 497.702519999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64634488-1.64653663) × cos(-1.15113934) × R
    0.000191749999999935 × 0.407447227513599 × 6371000     		do = 497.753525434124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64634488-1.64653663) × cos(-1.15121746) × R
    0.000191749999999935 × 0.407375884840153 × 6371000     		du = 497.666370424042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15113934)-sin(-1.15121746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407447227513599-0.407375884840153)×R²
    abs(1.64653663-1.64634488)×7.1342673446384e-05×R²
    0.000191749999999935×7.1342673446384e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.1342673446384e-05×40589641000000     		ar = 247711.49543865m²