Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24968 / 24440
↖ ↑ ↗
← S 65.910623°
E 94.306641°		 ← 498.60 m → S 65.910623°
E 94.317627°		 →
↑
498.59 m
↓
↑
498.59 m
↓
S 65.915107°
E 94.306641°		 ← 498.51 m →
248 577 m²		 S 65.915107°
E 94.317627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761978149414062 y=0.745864868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761978149414062 × 215)
    floor (0.761978149414062 × 32768)
    floor (24968.5)     		tx = 24968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745864868164062 × 215)
    floor (0.745864868164062 × 32768)
    floor (24440.5)     		ty = 24440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24968 / 24440 ti = "15/24968/24440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24968/24440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24968 ÷ 215
    24968 ÷ 32768     		x = 0.761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24440 ÷ 215
    24440 ÷ 32768     		y = 0.745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    0.52392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64596139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64596139} λ = 1.64596139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54471865335669))-π/2
    2×atan(0.213371894245104)-π/2
    2×0.210219468726778-π/2
    0.420438937453557-1.57079632675     		φ = -1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64596139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24968 KachelY 24440 1.64596139 -1.15035739 94.306641 -65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 24969 KachelY 24440 1.64615313 -1.15035739 94.317627 -65.910623
    Unten links KachelX 24968 KachelY + 1 24441 1.64596139 -1.15043565 94.306641 -65.915107
    Unten rechts KachelX + 1 24969 KachelY + 1 24441 1.64615313 -1.15043565 94.317627 -65.915107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15035739--1.15043565) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dl = 498.594459999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15035739--1.15043565) × R
    7.82599999999967e-05 × 6371000     		dr = 498.594459999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64596139-1.64615313) × cos(-1.15035739) × R
    0.000191739999999996 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 498.599740861038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64596139-1.64615313) × cos(-1.15043565) × R
    0.000191739999999996 × 0.408089756522558 × 6371000     		du = 498.512464692501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15035739)-sin(-1.15043565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408089756522558)×R²
    abs(1.64615313-1.64596139)×7.1445576372009e-05×R²
    0.000191739999999996×7.1445576372009e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.1445576372009e-05×40589641000000     		ar = 248577.310970436m²