Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24967 / 41939
↖ ↑ ↗
← S 44.914249°
W 42.852173°		 ← 432.58 m → S 44.914249°
W 42.846679°		 →
↑
432.53 m
↓
↑
432.53 m
↓
S 44.918139°
W 42.852173°		 ← 432.55 m →
187 098 m²		 S 44.918139°
W 42.846679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380973815917969 y=0.639945983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380973815917969 × 216)
    floor (0.380973815917969 × 65536)
    floor (24967.5)     		tx = 24967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639945983886719 × 216)
    floor (0.639945983886719 × 65536)
    floor (41939.5)     		ty = 41939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24967 / 41939 ti = "16/24967/41939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24967/41939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24967 ÷ 216
    24967 ÷ 65536     		x = 0.380966186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41939 ÷ 216
    41939 ÷ 65536     		y = 0.639938354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380966186523438 × 2 - 1) × π
    -0.238067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74791151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639938354492188 × 2 - 1) × π
    -0.279876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87925861283107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74791151} λ = -0.74791151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87925861283107))-π/2
    2×atan(0.415090540432107)-π/2
    2×0.393447397133136-π/2
    0.786894794266272-1.57079632675     		φ = -0.78390153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74791151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78390153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.914249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24967 KachelY 41939 -0.74791151 -0.78390153 -42.852173 -44.914249
    Oben rechts KachelX + 1 24968 KachelY 41939 -0.74781563 -0.78390153 -42.846679 -44.914249
    Unten links KachelX 24967 KachelY + 1 41940 -0.74791151 -0.78396942 -42.852173 -44.918139
    Unten rechts KachelX + 1 24968 KachelY + 1 41940 -0.74781563 -0.78396942 -42.846679 -44.918139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78390153--0.78396942) × R
    6.78900000000704e-05 × 6371000     		dl = 432.527190000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78390153--0.78396942) × R
    6.78900000000704e-05 × 6371000     		dr = 432.527190000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74791151--0.74781563) × cos(-0.78390153) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708164268487591 × 6371000     		do = 432.58319148898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74791151--0.74781563) × cos(-0.78396942) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708116333276611 × 6371000     		du = 432.553910194408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78390153)-sin(-0.78396942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708164268487591-0.708116333276611)×R²
    abs(-0.74781563--0.74791151)×4.79352109801212e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79352109801212e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79352109801212e-05×40589641000000     		ar = 187097.659849931m²