Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 24965 / 57722
↖ ↑ ↗
← N 20.976828°
W111.431579°		 ← 285.12 m → N 20.976828°
W111.428833°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
N 20.974263°
W111.431579°		 ← 285.13 m →
81 308 m²		 N 20.974263°
W111.428833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190471649169922 y=0.440387725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190471649169922 × 217)
    floor (0.190471649169922 × 131072)
    floor (24965.5)     		tx = 24965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440387725830078 × 217)
    floor (0.440387725830078 × 131072)
    floor (57722.5)     		ty = 57722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24965 / 57722 ti = "17/24965/57722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24965/57722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24965 ÷ 217
    24965 ÷ 131072     		x = 0.190467834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57722 ÷ 217
    57722 ÷ 131072     		y = 0.440383911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.190467834472656 × 2 - 1) × π
    -0.619064331054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.94484795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    0.119232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.374578933631119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94484795} λ = -1.94484795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.374578933631119))-π/2
    2×atan(1.45437889563112)-π/2
    2×0.968455518602049-π/2
    1.9369110372041-1.57079632675     		φ = 0.36611471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94484795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.431579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36611471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.976828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24965 KachelY 57722 -1.94484795 0.36611471 -111.431579 20.976828
    Oben rechts KachelX + 1 24966 KachelY 57722 -1.94480002 0.36611471 -111.428833 20.976828
    Unten links KachelX 24965 KachelY + 1 57723 -1.94484795 0.36606995 -111.431579 20.974263
    Unten rechts KachelX + 1 24966 KachelY + 1 57723 -1.94480002 0.36606995 -111.428833 20.974263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36611471-0.36606995) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dl = 285.165960000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36611471-0.36606995) × R
    4.47600000000326e-05 × 6371000     		dr = 285.165960000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94484795--1.94480002) × cos(0.36611471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933725285938093 × 6371000     		do = 285.124248776561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94484795--1.94480002) × cos(0.36606995) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.933741308650795 × 6371000     		du = 285.129141504638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36611471)-sin(0.36606995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933725285938093-0.933741308650795)×R²
    abs(-1.94480002--1.94484795)×1.60227127028456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60227127028456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60227127028456e-05×40589641000000     		ar = 81308.4277550043m²