Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24963 / 36228
↖ ↑ ↗
← N 62.425989°
W111.437073°		 ← 141.38 m → N 62.425989°
W111.434326°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 62.424718°
W111.437073°		 ← 141.39 m →
19 988 m²		 N 62.424718°
W111.434326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190456390380859 y=0.276401519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190456390380859 × 217)
    floor (0.190456390380859 × 131072)
    floor (24963.5)     		tx = 24963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276401519775391 × 217)
    floor (0.276401519775391 × 131072)
    floor (36228.5)     		ty = 36228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24963 / 36228 ti = "17/24963/36228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24963/36228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24963 ÷ 217
    24963 ÷ 131072     		x = 0.190452575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36228 ÷ 217
    36228 ÷ 131072     		y = 0.276397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.190452575683594 × 2 - 1) × π
    -0.619094848632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.94494383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276397705078125 × 2 - 1) × π
    0.44720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40493465406461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94494383} λ = -1.94494383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40493465406461))-π/2
    2×atan(4.07526043086164)-π/2
    2×1.330167688213-π/2
    2.660335376426-1.57079632675     		φ = 1.08953905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94494383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.437073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08953905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.425989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24963 KachelY 36228 -1.94494383 1.08953905 -111.437073 62.425989
    Oben rechts KachelX + 1 24964 KachelY 36228 -1.94489589 1.08953905 -111.434326 62.425989
    Unten links KachelX 24963 KachelY + 1 36229 -1.94494383 1.08951686 -111.437073 62.424718
    Unten rechts KachelX + 1 24964 KachelY + 1 36229 -1.94489589 1.08951686 -111.434326 62.424718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08953905-1.08951686) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dl = 141.372489999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08953905-1.08951686) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dr = 141.372489999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94494383--1.94489589) × cos(1.08953905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462894008403778 × 6371000     		do = 141.379745058197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94494383--1.94489589) × cos(1.08951686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462913677808432 × 6371000     		du = 141.385752600669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08953905)-sin(1.08951686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462894008403778-0.462913677808432)×R²
    abs(-1.94489589--1.94494383)×1.96694046538104e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96694046538104e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96694046538104e-05×40589641000000     		ar = 19987.6312457643m²