Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24962 / 24434
↖ ↑ ↗
← S 65.883704°
E 94.240723°		 ← 499.15 m → S 65.883704°
E 94.251709°		 →
↑
499.10 m
↓
↑
499.10 m
↓
S 65.888193°
E 94.240723°		 ← 499.06 m →
249 106 m²		 S 65.888193°
E 94.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761795043945312 y=0.745681762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761795043945312 × 215)
    floor (0.761795043945312 × 32768)
    floor (24962.5)     		tx = 24962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745681762695312 × 215)
    floor (0.745681762695312 × 32768)
    floor (24434.5)     		ty = 24434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24962 / 24434 ti = "15/24962/24434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24962/24434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24962 ÷ 215
    24962 ÷ 32768     		x = 0.76177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24434 ÷ 215
    24434 ÷ 32768     		y = 0.74566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76177978515625 × 2 - 1) × π
    0.5235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64481090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64481090} λ = 1.64481090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54356816776581))-π/2
    2×atan(0.213617516800445)-π/2
    2×0.210454383852242-π/2
    0.420908767704485-1.57079632675     		φ = -1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64481090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24962 KachelY 24434 1.64481090 -1.14988756 94.240723 -65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 24963 KachelY 24434 1.64500265 -1.14988756 94.251709 -65.883704
    Unten links KachelX 24962 KachelY + 1 24435 1.64481090 -1.14996590 94.240723 -65.888193
    Unten rechts KachelX + 1 24963 KachelY + 1 24435 1.64500265 -1.14996590 94.251709 -65.888193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14988756--1.14996590) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dl = 499.10413999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14988756--1.14996590) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dr = 499.10413999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64481090-1.64500265) × cos(-1.14988756) × R
    0.000191749999999935 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 499.149666035825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64481090-1.64500265) × cos(-1.14996590) × R
    0.000191749999999935 × 0.408518565897018 × 6371000     		du = 499.062314453339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14988756)-sin(-1.14996590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408518565897018)×R²
    abs(1.64500265-1.64481090)×7.15035821633458e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15035821633458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15035821633458e-05×40589641000000     		ar = 249105.866156818m²