Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24960 / 24431
↖ ↑ ↗
← S 65.870234°
E 94.218750°		 ← 499.41 m → S 65.870234°
E 94.229736°		 →
↑
499.36 m
↓
↑
499.36 m
↓
S 65.874725°
E 94.218750°		 ← 499.32 m →
249 364 m²		 S 65.874725°
E 94.229736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761734008789062 y=0.745590209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761734008789062 × 215)
    floor (0.761734008789062 × 32768)
    floor (24960.5)     		tx = 24960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745590209960938 × 215)
    floor (0.745590209960938 × 32768)
    floor (24431.5)     		ty = 24431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24960 / 24431 ti = "15/24960/24431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24960/24431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24960 ÷ 215
    24960 ÷ 32768     		x = 0.76171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24431 ÷ 215
    24431 ÷ 32768     		y = 0.745574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76171875 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64442740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.49114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54299292497037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64442740} λ = 1.64442740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54299292497037))-π/2
    2×atan(0.213740434088217)-π/2
    2×0.210571933954504-π/2
    0.421143867909007-1.57079632675     		φ = -1.14965246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64442740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14965246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.870234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24960 KachelY 24431 1.64442740 -1.14965246 94.218750 -65.870234
    Oben rechts KachelX + 1 24961 KachelY 24431 1.64461915 -1.14965246 94.229736 -65.870234
    Unten links KachelX 24960 KachelY + 1 24432 1.64442740 -1.14973084 94.218750 -65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 24961 KachelY + 1 24432 1.64461915 -1.14973084 94.229736 -65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14965246--1.14973084) × R
    7.83799999999335e-05 × 6371000     		dl = 499.358979999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14965246--1.14973084) × R
    7.83799999999335e-05 × 6371000     		dr = 499.358979999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64442740-1.64461915) × cos(-1.14965246) × R
    0.000191749999999935 × 0.408804638188186 × 6371000     		do = 499.411791592567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64442740-1.64461915) × cos(-1.14973084) × R
    0.000191749999999935 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 499.324404607541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14965246)-sin(-1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408804638188186-0.408733105626485)×R²
    abs(1.64461915-1.64442740)×7.15325617006157e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15325617006157e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15325617006157e-05×40589641000000     		ar = 249363.944239333m²