Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2496 / 2630
↖ ↑ ↗
← S 45.460131°
E 39.375000°		 ← 6 854.83 m → S 45.460131°
E 39.462890°		 →
↑
6 851.05 m
↓
↑
6 851.05 m
↓
S 45.521744°
E 39.375000°		 ← 6 847.33 m →
46 937 118 m²		 S 45.521744°
E 39.462890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6094970703125 y=0.6422119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6094970703125 × 212)
    floor (0.6094970703125 × 4096)
    floor (2496.5)     		tx = 2496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6422119140625 × 212)
    floor (0.6422119140625 × 4096)
    floor (2630.5)     		ty = 2630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2496 / 2630 ti = "12/2496/2630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2496/2630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2496 ÷ 212
    2496 ÷ 4096     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2630 ÷ 212
    2630 ÷ 4096     		y = 0.64208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64208984375 × 2 - 1) × π
    -0.2841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892776818523926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892776818523926))-π/2
    2×atan(0.409517018012711)-π/2
    2×0.388683684397162-π/2
    0.777367368794323-1.57079632675     		φ = -0.79342896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79342896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.460131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2496 KachelY 2630 0.68722339 -0.79342896 39.375000 -45.460131
    Oben rechts KachelX + 1 2497 KachelY 2630 0.68875737 -0.79342896 39.462890 -45.460131
    Unten links KachelX 2496 KachelY + 1 2631 0.68722339 -0.79450431 39.375000 -45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 2497 KachelY + 1 2631 0.68875737 -0.79450431 39.462890 -45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79342896--0.79450431) × R
    0.00107535000000003 × 6371000     		dl = 6851.05485000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79342896--0.79450431) × R
    0.00107535000000003 × 6371000     		dr = 6851.05485000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.68875737) × cos(-0.79342896) × R
    0.00153398000000005 × 0.701405409648006 × 6371000     		do = 6854.82565562957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.68875737) × cos(-0.79450431) × R
    0.00153398000000005 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 6847.33100041505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79342896)-sin(-0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701405409648006-0.700638535043895)×R²
    abs(0.68875737-0.68722339)×0.000766874604111734×R²
    0.00153398000000005×0.000766874604111734×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766874604111734×40589641000000     		ar = 46937117.9300163m²