Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24956 / 41935
↖ ↑ ↗
← S 44.898687°
W 42.912598°		 ← 432.66 m → S 44.898687°
W 42.907105°		 →
↑
432.65 m
↓
↑
432.65 m
↓
S 44.902578°
W 42.912598°		 ← 432.63 m →
187 184 m²		 S 44.902578°
W 42.907105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380805969238281 y=0.639884948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380805969238281 × 216)
    floor (0.380805969238281 × 65536)
    floor (24956.5)     		tx = 24956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639884948730469 × 216)
    floor (0.639884948730469 × 65536)
    floor (41935.5)     		ty = 41935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24956 / 41935 ti = "16/24956/41935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24956/41935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24956 ÷ 216
    24956 ÷ 65536     		x = 0.38079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41935 ÷ 216
    41935 ÷ 65536     		y = 0.639877319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.2384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74896612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639877319335938 × 2 - 1) × π
    -0.279754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87887511763411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74896612} λ = -0.74896612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87887511763411))-π/2
    2×atan(0.415249756187954)-π/2
    2×0.393583204314084-π/2
    0.787166408628167-1.57079632675     		φ = -0.78362992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74896612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78362992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.898687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24956 KachelY 41935 -0.74896612 -0.78362992 -42.912598 -44.898687
    Oben rechts KachelX + 1 24957 KachelY 41935 -0.74887025 -0.78362992 -42.907105 -44.898687
    Unten links KachelX 24956 KachelY + 1 41936 -0.74896612 -0.78369783 -42.912598 -44.902578
    Unten rechts KachelX + 1 24957 KachelY + 1 41936 -0.74887025 -0.78369783 -42.907105 -44.902578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78362992--0.78369783) × R
    6.79100000000599e-05 × 6371000     		dl = 432.654610000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78362992--0.78369783) × R
    6.79100000000599e-05 × 6371000     		dr = 432.654610000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74896612--0.74887025) × cos(-0.78362992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70835601198241 × 6371000     		do = 432.65518892482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74896612--0.74887025) × cos(-0.78369783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708308075712955 × 6371000     		du = 432.625910037698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78362992)-sin(-0.78369783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70835601198241-0.708308075712955)×R²
    abs(-0.74887025--0.74896612)×4.79362694548735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79362694548735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79362694548735e-05×40589641000000     		ar = 187183.928277845m²