Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24954 / 24433
↖ ↑ ↗
← S 65.879215°
E 94.152832°		 ← 499.24 m → S 65.879215°
E 94.163819°		 →
↑
499.17 m
↓
↑
499.17 m
↓
S 65.883704°
E 94.152832°		 ← 499.15 m →
249 181 m²		 S 65.883704°
E 94.163819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761550903320312 y=0.745651245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761550903320312 × 215)
    floor (0.761550903320312 × 32768)
    floor (24954.5)     		tx = 24954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745651245117188 × 215)
    floor (0.745651245117188 × 32768)
    floor (24433.5)     		ty = 24433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24954 / 24433 ti = "15/24954/24433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24954/24433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24954 ÷ 215
    24954 ÷ 32768     		x = 0.76153564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24433 ÷ 215
    24433 ÷ 32768     		y = 0.745635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76153564453125 × 2 - 1) × π
    0.5230712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64327692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.49127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54337642016733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64327692} λ = 1.64327692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54337642016733))-π/2
    2×atan(0.213658481373588)-π/2
    2×0.210493560362644-π/2
    0.420987120725289-1.57079632675     		φ = -1.14980921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64327692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.152832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14980921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.879215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24954 KachelY 24433 1.64327692 -1.14980921 94.152832 -65.879215
    Oben rechts KachelX + 1 24955 KachelY 24433 1.64346867 -1.14980921 94.163819 -65.879215
    Unten links KachelX 24954 KachelY + 1 24434 1.64327692 -1.14988756 94.152832 -65.883704
    Unten rechts KachelX + 1 24955 KachelY + 1 24434 1.64346867 -1.14988756 94.163819 -65.883704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14980921--1.14988756) × R
    7.83500000001158e-05 × 6371000     		dl = 499.167850000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14980921--1.14988756) × R
    7.83500000001158e-05 × 6371000     		dr = 499.167850000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64327692-1.64346867) × cos(-1.14980921) × R
    0.000191750000000157 × 0.408661579680623 × 6371000     		do = 499.237025705261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64327692-1.64346867) × cos(-1.14988756) × R
    0.000191750000000157 × 0.408590069479181 × 6371000     		du = 499.149666036403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14980921)-sin(-1.14988756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408661579680623-0.408590069479181)×R²
    abs(1.64346867-1.64327692)×7.15102014425817e-05×R²
    0.000191750000000157×7.15102014425817e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.15102014425817e-05×40589641000000     		ar = 249181.269320888m²