Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24950 / 40278
↖ ↑ ↗
← S 38.091337°
W 42.945556°		 ← 480.71 m → S 38.091337°
W 42.940064°		 →
↑
480.69 m
↓
↑
480.69 m
↓
S 38.095660°
W 42.945556°		 ← 480.68 m →
231 065 m²		 S 38.095660°
W 42.940064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380714416503906 y=0.614601135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380714416503906 × 216)
    floor (0.380714416503906 × 65536)
    floor (24950.5)     		tx = 24950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614601135253906 × 216)
    floor (0.614601135253906 × 65536)
    floor (40278.5)     		ty = 40278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24950 / 40278 ti = "16/24950/40278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24950/40278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24950 ÷ 216
    24950 ÷ 65536     		x = 0.380706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40278 ÷ 216
    40278 ÷ 65536     		y = 0.614593505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.22918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720012232293243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74954136} λ = -0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720012232293243))-π/2
    2×atan(0.486746301900056)-π/2
    2×0.452988543262283-π/2
    0.905977086524566-1.57079632675     		φ = -0.66481924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66481924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.091337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24950 KachelY 40278 -0.74954136 -0.66481924 -42.945556 -38.091337
    Oben rechts KachelX + 1 24951 KachelY 40278 -0.74944549 -0.66481924 -42.940064 -38.091337
    Unten links KachelX 24950 KachelY + 1 40279 -0.74954136 -0.66489469 -42.945556 -38.095660
    Unten rechts KachelX + 1 24951 KachelY + 1 40279 -0.74944549 -0.66489469 -42.940064 -38.095660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66481924--0.66489469) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dl = 480.691949999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66481924--0.66489469) × R
    7.54499999999769e-05 × 6371000     		dr = 480.691949999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74954136--0.74944549) × cos(-0.66481924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787028311880724 × 6371000     		do = 480.707267540481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74954136--0.74944549) × cos(-0.66489469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.786981763262045 × 6371000     		du = 480.678836213482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66481924)-sin(-0.66489469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787028311880724-0.786981763262045)×R²
    abs(-0.74944549--0.74954136)×4.65486186784769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65486186784769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65486186784769e-05×40589641000000     		ar = 231065.280567357m²