Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2495 / 587
↖ ↑ ↗
← N 77.860345°
E 39.287109°		 ← 2 055.21 m → N 77.860345°
E 39.375000°		 →
↑
2 056.75 m
↓
↑
2 056.75 m
↓
N 77.841848°
E 39.287109°		 ← 2 058.30 m →
4 230 230 m²		 N 77.841848°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6092529296875 y=0.1434326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6092529296875 × 212)
    floor (0.6092529296875 × 4096)
    floor (2495.5)     		tx = 2495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1434326171875 × 212)
    floor (0.1434326171875 × 4096)
    floor (587.5)     		ty = 587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2495 / 587 ti = "12/2495/587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2495/587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2495 ÷ 212
    2495 ÷ 4096     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 587 ÷ 212
    587 ÷ 4096     		y = 0.143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    0.71337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24114593103687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24114593103687))-π/2
    2×atan(9.40410156712491)-π/2
    2×1.46485784837387-π/2
    2.92971569674774-1.57079632675     		φ = 1.35891937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35891937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2495 KachelY 587 0.68568941 1.35891937 39.287109 77.860345
    Oben rechts KachelX + 1 2496 KachelY 587 0.68722339 1.35891937 39.375000 77.860345
    Unten links KachelX 2495 KachelY + 1 588 0.68568941 1.35859654 39.287109 77.841848
    Unten rechts KachelX + 1 2496 KachelY + 1 588 0.68722339 1.35859654 39.375000 77.841848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35891937-1.35859654) × R
    0.000322829999999996 × 6371000     		dl = 2056.74992999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35891937-1.35859654) × R
    0.000322829999999996 × 6371000     		dr = 2056.74992999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68722339) × cos(1.35891937) × R
    0.00153397999999993 × 0.210295253340699 × 6371000     		do = 2055.21268873627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68722339) × cos(1.35859654) × R
    0.00153397999999993 × 0.210610853227156 × 6371000     		du = 2058.29704219126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35891937)-sin(1.35859654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210295253340699-0.210610853227156)×R²
    abs(0.68722339-0.68568941)×0.000315599886456575×R²
    0.00153397999999993×0.000315599886456575×6371000²
    0.00153397999999993×0.000315599886456575×40589641000000     		ar = 4230230.46231247m²