Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24948 / 29093
↖ ↑ ↗
← N 19.782211°
W 42.956543°		 ← 574.74 m → N 19.782211°
W 42.951050°		 →
↑
574.79 m
↓
↑
574.79 m
↓
N 19.777042°
W 42.956543°		 ← 574.76 m →
330 363 m²		 N 19.777042°
W 42.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380683898925781 y=0.443931579589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380683898925781 × 216)
    floor (0.380683898925781 × 65536)
    floor (24948.5)     		tx = 24948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443931579589844 × 216)
    floor (0.443931579589844 × 65536)
    floor (29093.5)     		ty = 29093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24948 / 29093 ti = "16/24948/29093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24948/29093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24948 ÷ 216
    24948 ÷ 65536     		x = 0.38067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29093 ÷ 216
    29093 ÷ 65536     		y = 0.443923950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74973311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443923950195312 × 2 - 1) × π
    0.112152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.352336212207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74973311} λ = -0.74973311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.352336212207413))-π/2
    2×atan(1.42238666709639)-π/2
    2×0.958030523438105-π/2
    1.91606104687621-1.57079632675     		φ = 0.34526472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74973311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34526472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.782211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24948 KachelY 29093 -0.74973311 0.34526472 -42.956543 19.782211
    Oben rechts KachelX + 1 24949 KachelY 29093 -0.74963724 0.34526472 -42.951050 19.782211
    Unten links KachelX 24948 KachelY + 1 29094 -0.74973311 0.34517450 -42.956543 19.777042
    Unten rechts KachelX + 1 24949 KachelY + 1 29094 -0.74963724 0.34517450 -42.951050 19.777042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34526472-0.34517450) × R
    9.02200000000297e-05 × 6371000     		dl = 574.791620000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34526472-0.34517450) × R
    9.02200000000297e-05 × 6371000     		dr = 574.791620000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74973311--0.74963724) × cos(0.34526472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.940985892209437 × 6371000     		do = 574.74267470405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74973311--0.74963724) × cos(0.34517450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941016422958641 × 6371000     		du = 574.761322512273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34526472)-sin(0.34517450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940985892209437-0.941016422958641)×R²
    abs(-0.74963724--0.74973311)×3.05307492045603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05307492045603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05307492045603e-05×40589641000000     		ar = 330362.632602361m²