Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24946 / 40267
↖ ↑ ↗
← S 38.043765°
W 42.967529°		 ← 481.07 m → S 38.043765°
W 42.962036°		 →
↑
481.01 m
↓
↑
481.01 m
↓
S 38.048091°
W 42.967529°		 ← 481.04 m →
231 393 m²		 S 38.048091°
W 42.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380653381347656 y=0.614433288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380653381347656 × 216)
    floor (0.380653381347656 × 65536)
    floor (24946.5)     		tx = 24946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614433288574219 × 216)
    floor (0.614433288574219 × 65536)
    floor (40267.5)     		ty = 40267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24946 / 40267 ti = "16/24946/40267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24946/40267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24946 ÷ 216
    24946 ÷ 65536     		x = 0.380645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40267 ÷ 216
    40267 ÷ 65536     		y = 0.614425659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.23870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74992486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614425659179688 × 2 - 1) × π
    -0.228851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.718957620501602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74992486} λ = -0.74992486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718957620501602))-π/2
    2×atan(0.487259901065843)-π/2
    2×0.453403682915462-π/2
    0.906807365830923-1.57079632675     		φ = -0.66398896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74992486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.967529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66398896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.043765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24946 KachelY 40267 -0.74992486 -0.66398896 -42.967529 -38.043765
    Oben rechts KachelX + 1 24947 KachelY 40267 -0.74982898 -0.66398896 -42.962036 -38.043765
    Unten links KachelX 24946 KachelY + 1 40268 -0.74992486 -0.66406446 -42.967529 -38.048091
    Unten rechts KachelX + 1 24947 KachelY + 1 40268 -0.74982898 -0.66406446 -42.962036 -38.048091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66398896--0.66406446) × R
    7.55000000000061e-05 × 6371000     		dl = 481.010500000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66398896--0.66406446) × R
    7.55000000000061e-05 × 6371000     		dr = 481.010500000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74992486--0.74982898) × cos(-0.66398896) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.78754025429382 × 6371000     		do = 481.070129895198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74992486--0.74982898) × cos(-0.66406446) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.787493724176684 × 6371000     		du = 481.041706904281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66398896)-sin(-0.66406446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78754025429382-0.787493724176684)×R²
    abs(-0.74982898--0.74992486)×4.65301171358457e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.65301171358457e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.65301171358457e-05×40589641000000     		ar = 231392.947947405m²