Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24945 / 29106
↖ ↑ ↗
← N 19.715000°
W 42.973022°		 ← 574.98 m → N 19.715000°
W 42.967529°		 →
↑
575.05 m
↓
↑
575.05 m
↓
N 19.709829°
W 42.973022°		 ← 575 m →
330 648 m²		 N 19.709829°
W 42.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380638122558594 y=0.444129943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380638122558594 × 216)
    floor (0.380638122558594 × 65536)
    floor (24945.5)     		tx = 24945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444129943847656 × 216)
    floor (0.444129943847656 × 65536)
    floor (29106.5)     		ty = 29106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24945 / 29106 ti = "16/24945/29106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24945/29106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24945 ÷ 216
    24945 ÷ 65536     		x = 0.380630493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29106 ÷ 216
    29106 ÷ 65536     		y = 0.444122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380630493164062 × 2 - 1) × π
    -0.238739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75002073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    0.11175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.351089852817291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75002073} λ = -0.75002073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351089852817291))-π/2
    2×atan(1.4206149664347)-π/2
    2×0.957443996574057-π/2
    1.91488799314811-1.57079632675     		φ = 0.34409167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75002073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.973022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34409167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.715000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24945 KachelY 29106 -0.75002073 0.34409167 -42.973022 19.715000
    Oben rechts KachelX + 1 24946 KachelY 29106 -0.74992486 0.34409167 -42.967529 19.715000
    Unten links KachelX 24945 KachelY + 1 29107 -0.75002073 0.34400141 -42.973022 19.709829
    Unten rechts KachelX + 1 24946 KachelY + 1 29107 -0.74992486 0.34400141 -42.967529 19.709829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34409167-0.34400141) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dl = 575.046460000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34409167-0.34400141) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dr = 575.046460000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75002073--0.74992486) × cos(0.34409167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941382258528691 × 6371000     		do = 574.98477040429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75002073--0.74992486) × cos(0.34400141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941412703158611 × 6371000     		du = 575.003365611908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34409167)-sin(0.34400141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941382258528691-0.941412703158611)×R²
    abs(-0.74992486--0.75002073)×3.04446299208561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04446299208561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04446299208561e-05×40589641000000     		ar = 330648.303553431m²