Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24940 / 40261
↖ ↑ ↗
← S 38.017804°
W 43.000488°		 ← 481.19 m → S 38.017804°
W 42.994995°		 →
↑
481.20 m
↓
↑
481.20 m
↓
S 38.022131°
W 43.000488°		 ← 481.16 m →
231 543 m²		 S 38.022131°
W 42.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380561828613281 y=0.614341735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380561828613281 × 216)
    floor (0.380561828613281 × 65536)
    floor (24940.5)     		tx = 24940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614341735839844 × 216)
    floor (0.614341735839844 × 65536)
    floor (40261.5)     		ty = 40261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24940 / 40261 ti = "16/24940/40261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24940/40261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24940 ÷ 216
    24940 ÷ 65536     		x = 0.38055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40261 ÷ 216
    40261 ÷ 65536     		y = 0.614334106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.2388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75050010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614334106445312 × 2 - 1) × π
    -0.228668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718382377706162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75050010} λ = -0.75050010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718382377706162))-π/2
    2×atan(0.487540274447091)-π/2
    2×0.453630236490601-π/2
    0.907260472981201-1.57079632675     		φ = -0.66353585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75050010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66353585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.017804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24940 KachelY 40261 -0.75050010 -0.66353585 -43.000488 -38.017804
    Oben rechts KachelX + 1 24941 KachelY 40261 -0.75040423 -0.66353585 -42.994995 -38.017804
    Unten links KachelX 24940 KachelY + 1 40262 -0.75050010 -0.66361138 -43.000488 -38.022131
    Unten rechts KachelX + 1 24941 KachelY + 1 40262 -0.75040423 -0.66361138 -42.994995 -38.022131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66353585--0.66361138) × R
    7.55299999999348e-05 × 6371000     		dl = 481.201629999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66353585--0.66361138) × R
    7.55299999999348e-05 × 6371000     		dr = 481.201629999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75050010--0.75040423) × cos(-0.66353585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787819408464349 × 6371000     		do = 481.190459658649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75050010--0.75040423) × cos(-0.66361138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.787772886813818 × 6371000     		du = 481.162044803464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66353585)-sin(-0.66361138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787819408464349-0.787772886813818)×R²
    abs(-0.75040423--0.75050010)×4.65216505314281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65216505314281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65216505314281e-05×40589641000000     		ar = 231542.797000669m²