Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24940 / 29172
↖ ↑ ↗
← N 19.373341°
W 43.000488°		 ← 576.20 m → N 19.373341°
W 42.994995°		 →
↑
576.19 m
↓
↑
576.19 m
↓
N 19.368159°
W 43.000488°		 ← 576.22 m →
332 010 m²		 N 19.368159°
W 42.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380561828613281 y=0.445137023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380561828613281 × 216)
    floor (0.380561828613281 × 65536)
    floor (24940.5)     		tx = 24940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445137023925781 × 216)
    floor (0.445137023925781 × 65536)
    floor (29172.5)     		ty = 29172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24940 / 29172 ti = "16/24940/29172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24940/29172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24940 ÷ 216
    24940 ÷ 65536     		x = 0.38055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29172 ÷ 216
    29172 ÷ 65536     		y = 0.44512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.2388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75050010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    0.1097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.344762182067444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75050010} λ = -0.75050010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344762182067444))-π/2
    2×atan(1.41165416307023)-π/2
    2×0.954462454672235-π/2
    1.90892490934447-1.57079632675     		φ = 0.33812858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75050010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33812858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.373341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24940 KachelY 29172 -0.75050010 0.33812858 -43.000488 19.373341
    Oben rechts KachelX + 1 24941 KachelY 29172 -0.75040423 0.33812858 -42.994995 19.373341
    Unten links KachelX 24940 KachelY + 1 29173 -0.75050010 0.33803814 -43.000488 19.368159
    Unten rechts KachelX + 1 24941 KachelY + 1 29173 -0.75040423 0.33803814 -42.994995 19.368159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33812858-0.33803814) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dl = 576.193240000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33812858-0.33803814) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dr = 576.193240000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75050010--0.75040423) × cos(0.33812858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943377108714781 × 6371000     		do = 576.203200500936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75050010--0.75040423) × cos(0.33803814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		du = 576.22152236235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33812858)-sin(0.33803814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943377108714781-0.943407105814124)×R²
    abs(-0.75040423--0.75050010)×2.99970993429266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99970993429266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99970993429266e-05×40589641000000     		ar = 332009.667687776m²