Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24939 / 41140
↖ ↑ ↗
← S 41.722131°
W 43.005981°		 ← 455.88 m → S 41.722131°
W 43.000488°		 →
↑
455.91 m
↓
↑
455.91 m
↓
S 41.726231°
W 43.005981°		 ← 455.85 m →
207 833 m²		 S 41.726231°
W 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380546569824219 y=0.627754211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380546569824219 × 216)
    floor (0.380546569824219 × 65536)
    floor (24939.5)     		tx = 24939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627754211425781 × 216)
    floor (0.627754211425781 × 65536)
    floor (41140.5)     		ty = 41140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24939 / 41140 ti = "16/24939/41140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24939/41140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24939 ÷ 216
    24939 ÷ 65536     		x = 0.380538940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41140 ÷ 216
    41140 ÷ 65536     		y = 0.62774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380538940429688 × 2 - 1) × π
    -0.238922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75059597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80265544723822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75059597} λ = -0.75059597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80265544723822))-π/2
    2×atan(0.448137377558219)-π/2
    2×0.421303888577273-π/2
    0.842607777154547-1.57079632675     		φ = -0.72818855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75059597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.005981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72818855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.722131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24939 KachelY 41140 -0.75059597 -0.72818855 -43.005981 -41.722131
    Oben rechts KachelX + 1 24940 KachelY 41140 -0.75050010 -0.72818855 -43.000488 -41.722131
    Unten links KachelX 24939 KachelY + 1 41141 -0.75059597 -0.72826011 -43.005981 -41.726231
    Unten rechts KachelX + 1 24940 KachelY + 1 41141 -0.75050010 -0.72826011 -43.000488 -41.726231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72818855--0.72826011) × R
    7.15599999999705e-05 × 6371000     		dl = 455.908759999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72818855--0.72826011) × R
    7.15599999999705e-05 × 6371000     		dr = 455.908759999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75059597--0.75050010) × cos(-0.72818855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746381180095463 × 6371000     		do = 455.880496560466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75059597--0.75050010) × cos(-0.72826011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.74633355366661 × 6371000     		du = 455.851406920194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72818855)-sin(-0.72826011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746381180095463-0.74633355366661)×R²
    abs(-0.75050010--0.75059597)×4.76264288529205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76264288529205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76264288529205e-05×40589641000000     		ar = 207833.280872663m²