Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24938 / 41138
↖ ↑ ↗
← S 41.713930°
W 43.011475°		 ← 455.99 m → S 41.713930°
W 43.005981°		 →
↑
455.97 m
↓
↑
455.97 m
↓
S 41.718031°
W 43.011475°		 ← 455.96 m →
207 911 m²		 S 41.718031°
W 43.005981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380531311035156 y=0.627723693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380531311035156 × 216)
    floor (0.380531311035156 × 65536)
    floor (24938.5)     		tx = 24938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627723693847656 × 216)
    floor (0.627723693847656 × 65536)
    floor (41138.5)     		ty = 41138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24938 / 41138 ti = "16/24938/41138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24938/41138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24938 ÷ 216
    24938 ÷ 65536     		x = 0.380523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41138 ÷ 216
    41138 ÷ 65536     		y = 0.627716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.25543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80246369963974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75069185} λ = -0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80246369963974))-π/2
    2×atan(0.448223315063047)-π/2
    2×0.421375451542505-π/2
    0.842750903085009-1.57079632675     		φ = -0.72804542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72804542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.713930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24938 KachelY 41138 -0.75069185 -0.72804542 -43.011475 -41.713930
    Oben rechts KachelX + 1 24939 KachelY 41138 -0.75059597 -0.72804542 -43.005981 -41.713930
    Unten links KachelX 24938 KachelY + 1 41139 -0.75069185 -0.72811699 -43.011475 -41.718031
    Unten rechts KachelX + 1 24939 KachelY + 1 41139 -0.75059597 -0.72811699 -43.005981 -41.718031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72804542--0.72811699) × R
    7.15699999999098e-05 × 6371000     		dl = 455.972469999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72804542--0.72811699) × R
    7.15699999999098e-05 × 6371000     		dr = 455.972469999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75069185--0.75059597) × cos(-0.72804542) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746476428140762 × 6371000     		do = 455.986230915127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75069185--0.75059597) × cos(-0.72811699) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.746428802702222 × 6371000     		du = 455.957138845509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72804542)-sin(-0.72811699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746476428140762-0.746428802702222)×R²
    abs(-0.75059597--0.75069185)×4.76254385399777e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76254385399777e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76254385399777e-05×40589641000000     		ar = 207910.535493275m²