Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 24936 / 57262
↖ ↑ ↗
← N 22.151796°
W111.511230°		 ← 282.82 m → N 22.151796°
W111.508484°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.149252°
W111.511230°		 ← 282.83 m →
80 003 m²		 N 22.149252°
W111.508484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190250396728516 y=0.436878204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190250396728516 × 217)
    floor (0.190250396728516 × 131072)
    floor (24936.5)     		tx = 24936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436878204345703 × 217)
    floor (0.436878204345703 × 131072)
    floor (57262.5)     		ty = 57262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 24936 / 57262 ti = "17/24936/57262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/24936/57262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24936 ÷ 217
    24936 ÷ 131072     		x = 0.19024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57262 ÷ 217
    57262 ÷ 131072     		y = 0.436874389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.6195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.94623812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436874389648438 × 2 - 1) × π
    0.126251220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396629907456345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94623812} λ = -1.94623812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396629907456345))-π/2
    2×atan(1.48680557255972)-π/2
    2×0.9787090474019-π/2
    1.9574180948038-1.57079632675     		φ = 0.38662177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94623812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.511230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38662177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.151796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24936 KachelY 57262 -1.94623812 0.38662177 -111.511230 22.151796
    Oben rechts KachelX + 1 24937 KachelY 57262 -1.94619019 0.38662177 -111.508484 22.151796
    Unten links KachelX 24936 KachelY + 1 57263 -1.94623812 0.38657737 -111.511230 22.149252
    Unten rechts KachelX + 1 24937 KachelY + 1 57263 -1.94619019 0.38657737 -111.508484 22.149252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38662177-0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38662177-0.38657737) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94623812--1.94619019) × cos(0.38662177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926188143595382 × 6371000     		do = 282.82269169039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94623812--1.94619019) × cos(0.38657737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926204884221758 × 6371000     		du = 282.827803642044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38662177)-sin(0.38657737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926188143595382-0.926204884221758)×R²
    abs(-1.94619019--1.94623812)×1.67406263760217e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67406263760217e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67406263760217e-05×40589641000000     		ar = 80003.4566011016m²