Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24936 / 27048
↖ ↑ ↗
← N 29.954935°
W 43.022461°		 ← 529.25 m → N 29.954935°
W 43.016968°		 →
↑
529.24 m
↓
↑
529.24 m
↓
N 29.950175°
W 43.022461°		 ← 529.28 m →
280 108 m²		 N 29.950175°
W 43.016968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380500793457031 y=0.412727355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380500793457031 × 216)
    floor (0.380500793457031 × 65536)
    floor (24936.5)     		tx = 24936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412727355957031 × 216)
    floor (0.412727355957031 × 65536)
    floor (27048.5)     		ty = 27048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24936 / 27048 ti = "16/24936/27048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24936/27048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24936 ÷ 216
    24936 ÷ 65536     		x = 0.3804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27048 ÷ 216
    27048 ÷ 65536     		y = 0.4127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75088360} λ = -0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548398131653442))-π/2
    2×atan(1.73047879728279)-π/2
    2×1.04680428094611-π/2
    2.09360856189222-1.57079632675     		φ = 0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24936 KachelY 27048 -0.75088360 0.52281224 -43.022461 29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 24937 KachelY 27048 -0.75078772 0.52281224 -43.016968 29.954935
    Unten links KachelX 24936 KachelY + 1 27049 -0.75088360 0.52272917 -43.022461 29.950175
    Unten rechts KachelX + 1 24937 KachelY + 1 27049 -0.75078772 0.52272917 -43.016968 29.950175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52281224-0.52272917) × R
    8.30700000000739e-05 × 6371000     		dl = 529.238970000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52281224-0.52272917) × R
    8.30700000000739e-05 × 6371000     		dr = 529.238970000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75088360--0.75078772) × cos(0.52281224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 529.252964177554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75088360--0.75078772) × cos(0.52272917) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.866459879078585 × 6371000     		du = 529.278299495428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52281224)-sin(0.52272917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866459879078585)×R²
    abs(-0.75078772--0.75088360)×4.1475413750991e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.1475413750991e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.1475413750991e-05×40589641000000     		ar = 280107.99801077m²