Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24936 / 25480
↖ ↑ ↗
← S 70.170201°
E 93.955078°		 ← 414.41 m → S 70.170201°
E 93.966064°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
S 70.173927°
E 93.955078°		 ← 414.34 m →
171 705 m²		 S 70.173927°
E 93.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761001586914062 y=0.777603149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761001586914062 × 215)
    floor (0.761001586914062 × 32768)
    floor (24936.5)     		tx = 24936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777603149414062 × 215)
    floor (0.777603149414062 × 32768)
    floor (25480.5)     		ty = 25480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24936 / 25480 ti = "15/24936/25480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24936/25480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24936 ÷ 215
    24936 ÷ 32768     		x = 0.760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25480 ÷ 215
    25480 ÷ 32768     		y = 0.777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    0.52197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63982546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74413615577612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63982546} λ = 1.63982546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74413615577612))-π/2
    2×atan(0.174795920212916)-π/2
    2×0.173047644032394-π/2
    0.346095288064789-1.57079632675     		φ = -1.22470104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63982546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22470104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.170201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24936 KachelY 25480 1.63982546 -1.22470104 93.955078 -70.170201
    Oben rechts KachelX + 1 24937 KachelY 25480 1.64001721 -1.22470104 93.966064 -70.170201
    Unten links KachelX 24936 KachelY + 1 25481 1.63982546 -1.22476608 93.955078 -70.173927
    Unten rechts KachelX + 1 24937 KachelY + 1 25481 1.64001721 -1.22476608 93.966064 -70.173927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22470104--1.22476608) × R
    6.50399999999607e-05 × 6371000     		dl = 414.36983999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22470104--1.22476608) × R
    6.50399999999607e-05 × 6371000     		dr = 414.36983999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63982546-1.64001721) × cos(-1.22470104) × R
    0.000191749999999935 × 0.339227221698606 × 6371000     		do = 414.413288695328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63982546-1.64001721) × cos(-1.22476608) × R
    0.000191749999999935 × 0.339166037562691 × 6371000     		du = 414.338543753417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22470104)-sin(-1.22476608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339227221698606-0.339166037562691)×R²
    abs(1.64001721-1.63982546)×6.11841359150489e-05×R²
    0.000191749999999935×6.11841359150489e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.11841359150489e-05×40589641000000     		ar = 171704.882166688m²