Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24934 / 29099
↖ ↑ ↗
← N 19.751194°
W 43.033447°		 ← 574.85 m → N 19.751194°
W 43.027954°		 →
↑
574.86 m
↓
↑
574.86 m
↓
N 19.746024°
W 43.033447°		 ← 574.87 m →
330 464 m²		 N 19.746024°
W 43.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380470275878906 y=0.444023132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380470275878906 × 216)
    floor (0.380470275878906 × 65536)
    floor (24934.5)     		tx = 24934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444023132324219 × 216)
    floor (0.444023132324219 × 65536)
    floor (29099.5)     		ty = 29099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24934 / 29099 ti = "16/24934/29099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24934/29099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24934 ÷ 216
    24934 ÷ 65536     		x = 0.380462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29099 ÷ 216
    29099 ÷ 65536     		y = 0.444015502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.23907470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75107534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444015502929688 × 2 - 1) × π
    0.111968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351760969411972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75107534} λ = -0.75107534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351760969411972))-π/2
    2×atan(1.42156868470561)-π/2
    2×0.957759849426076-π/2
    1.91551969885215-1.57079632675     		φ = 0.34472337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75107534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.033447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34472337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.751194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24934 KachelY 29099 -0.75107534 0.34472337 -43.033447 19.751194
    Oben rechts KachelX + 1 24935 KachelY 29099 -0.75097947 0.34472337 -43.027954 19.751194
    Unten links KachelX 24934 KachelY + 1 29100 -0.75107534 0.34463314 -43.033447 19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 24935 KachelY + 1 29100 -0.75097947 0.34463314 -43.027954 19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34472337-0.34463314) × R
    9.02299999999689e-05 × 6371000     		dl = 574.855329999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34472337-0.34463314) × R
    9.02299999999689e-05 × 6371000     		dr = 574.855329999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75107534--0.75097947) × cos(0.34472337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941168971944644 × 6371000     		do = 574.854497567249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75107534--0.75097947) × cos(0.34463314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 574.873119365066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34472337)-sin(0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941168971944644-0.941199460108833)×R²
    abs(-0.75097947--0.75107534)×3.04881641889354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04881641889354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04881641889354e-05×40589641000000     		ar = 330463.524544999m²