Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24933 / 25189
↖ ↑ ↗
← S 69.056786°
E 93.922119°		 ← 436.67 m → S 69.056786°
E 93.933106°		 →
↑
436.60 m
↓
↑
436.60 m
↓
S 69.060712°
E 93.922119°		 ← 436.59 m →
190 633 m²		 S 69.060712°
E 93.933106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760910034179688 y=0.768722534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760910034179688 × 215)
    floor (0.760910034179688 × 32768)
    floor (24933.5)     		tx = 24933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768722534179688 × 215)
    floor (0.768722534179688 × 32768)
    floor (25189.5)     		ty = 25189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24933 / 25189 ti = "15/24933/25189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24933/25189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24933 ÷ 215
    24933 ÷ 32768     		x = 0.760894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25189 ÷ 215
    25189 ÷ 32768     		y = 0.768707275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760894775390625 × 2 - 1) × π
    0.52178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63925022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768707275390625 × 2 - 1) × π
    -0.53741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68833760461838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63925022} λ = 1.63925022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68833760461838))-π/2
    2×atan(0.184826523504078)-π/2
    2×0.182764025291026-π/2
    0.365528050582052-1.57079632675     		φ = -1.20526828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63925022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.922119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20526828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.056786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24933 KachelY 25189 1.63925022 -1.20526828 93.922119 -69.056786
    Oben rechts KachelX + 1 24934 KachelY 25189 1.63944197 -1.20526828 93.933106 -69.056786
    Unten links KachelX 24933 KachelY + 1 25190 1.63925022 -1.20533681 93.922119 -69.060712
    Unten rechts KachelX + 1 24934 KachelY + 1 25190 1.63944197 -1.20533681 93.933106 -69.060712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20526828--1.20533681) × R
    6.85299999998445e-05 × 6371000     		dl = 436.60462999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20526828--1.20533681) × R
    6.85299999998445e-05 × 6371000     		dr = 436.60462999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63925022-1.63944197) × cos(-1.20526828) × R
    0.000191749999999935 × 0.357442505747413 × 6371000     		do = 436.665794639243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63925022-1.63944197) × cos(-1.20533681) × R
    0.000191749999999935 × 0.357378502332637 × 6371000     		du = 436.587605555618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20526828)-sin(-1.20533681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357442505747413-0.357378502332637)×R²
    abs(1.63944197-1.63925022)×6.40034147768032e-05×R²
    0.000191749999999935×6.40034147768032e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.40034147768032e-05×40589641000000     		ar = 190633.238918347m²