Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24932 / 28772
↖ ↑ ↗
← N 21.432617°
W 43.044434°		 ← 568.55 m → N 21.432617°
W 43.038941°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 21.427504°
W 43.044434°		 ← 568.57 m →
323 254 m²		 N 21.427504°
W 43.038941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380439758300781 y=0.439033508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380439758300781 × 216)
    floor (0.380439758300781 × 65536)
    floor (24932.5)     		tx = 24932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439033508300781 × 216)
    floor (0.439033508300781 × 65536)
    floor (28772.5)     		ty = 28772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24932 / 28772 ti = "16/24932/28772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24932/28772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24932 ÷ 216
    24932 ÷ 65536     		x = 0.38043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28772 ÷ 216
    28772 ÷ 65536     		y = 0.43902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75126709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.383111701763489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75126709} λ = -0.75126709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383111701763489))-π/2
    2×atan(1.46684186974125)-π/2
    2×0.972433029194148-π/2
    1.9448660583883-1.57079632675     		φ = 0.37406973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75126709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37406973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.432617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24932 KachelY 28772 -0.75126709 0.37406973 -43.044434 21.432617
    Oben rechts KachelX + 1 24933 KachelY 28772 -0.75117122 0.37406973 -43.038941 21.432617
    Unten links KachelX 24932 KachelY + 1 28773 -0.75126709 0.37398049 -43.044434 21.427504
    Unten rechts KachelX + 1 24933 KachelY + 1 28773 -0.75117122 0.37398049 -43.038941 21.427504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37406973-0.37398049) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dl = 568.548039999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37406973-0.37398049) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dr = 568.548039999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75126709--0.75117122) × cos(0.37406973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930847951577126 × 6371000     		do = 568.550544552848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75126709--0.75117122) × cos(0.37398049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930880556768687 × 6371000     		du = 568.570459405092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37406973)-sin(0.37398049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930847951577126-0.930880556768687)×R²
    abs(-0.75117122--0.75126709)×3.26051915615633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26051915615633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26051915615633e-05×40589641000000     		ar = 323253.959236013m²