Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24932 / 25187
↖ ↑ ↗
← S 69.048930°
E 93.911133°		 ← 436.82 m → S 69.048930°
E 93.922119°		 →
↑
436.80 m
↓
↑
436.80 m
↓
S 69.052858°
E 93.911133°		 ← 436.74 m →
190 785 m²		 S 69.052858°
E 93.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760879516601562 y=0.768661499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760879516601562 × 215)
    floor (0.760879516601562 × 32768)
    floor (24932.5)     		tx = 24932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768661499023438 × 215)
    floor (0.768661499023438 × 32768)
    floor (25187.5)     		ty = 25187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24932 / 25187 ti = "15/24932/25187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24932/25187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24932 ÷ 215
    24932 ÷ 32768     		x = 0.7608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25187 ÷ 215
    25187 ÷ 32768     		y = 0.768646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63905847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.53729248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68795410942142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63905847} λ = 1.63905847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68795410942142))-π/2
    2×atan(0.184897417180936)-π/2
    2×0.182832576308933-π/2
    0.365665152617866-1.57079632675     		φ = -1.20513117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63905847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20513117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.048930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24932 KachelY 25187 1.63905847 -1.20513117 93.911133 -69.048930
    Oben rechts KachelX + 1 24933 KachelY 25187 1.63925022 -1.20513117 93.922119 -69.048930
    Unten links KachelX 24932 KachelY + 1 25188 1.63905847 -1.20519973 93.911133 -69.052858
    Unten rechts KachelX + 1 24933 KachelY + 1 25188 1.63925022 -1.20519973 93.922119 -69.052858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20513117--1.20519973) × R
    6.85599999998843e-05 × 6371000     		dl = 436.795759999263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20513117--1.20519973) × R
    6.85599999998843e-05 × 6371000     		dr = 436.795759999263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63905847-1.63925022) × cos(-1.20513117) × R
    0.000191750000000157 × 0.357570554234937 × 6371000     		do = 436.82222369801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63905847-1.63925022) × cos(-1.20519973) × R
    0.000191750000000157 × 0.357506526161724 × 6371000     		du = 436.744004490672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20513117)-sin(-1.20519973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357570554234937-0.357506526161724)×R²
    abs(1.63925022-1.63905847)×6.40280732121523e-05×R²
    0.000191750000000157×6.40280732121523e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.40280732121523e-05×40589641000000     		ar = 190785.012350976m²