Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24932 / 25186
↖ ↑ ↗
← S 69.045001°
E 93.911133°		 ← 436.90 m → S 69.045001°
E 93.922119°		 →
↑
436.86 m
↓
↑
436.86 m
↓
S 69.048930°
E 93.911133°		 ← 436.82 m →
190 847 m²		 S 69.048930°
E 93.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760879516601562 y=0.768630981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760879516601562 × 215)
    floor (0.760879516601562 × 32768)
    floor (24932.5)     		tx = 24932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768630981445312 × 215)
    floor (0.768630981445312 × 32768)
    floor (25186.5)     		ty = 25186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24932 / 25186 ti = "15/24932/25186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24932/25186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24932 ÷ 215
    24932 ÷ 32768     		x = 0.7608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25186 ÷ 215
    25186 ÷ 32768     		y = 0.76861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63905847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76861572265625 × 2 - 1) × π
    -0.5372314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68776236182294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63905847} λ = 1.63905847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68776236182294))-π/2
    2×atan(0.184932874215938)-π/2
    2×0.182866861025661-π/2
    0.365733722051321-1.57079632675     		φ = -1.20506260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63905847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20506260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24932 KachelY 25186 1.63905847 -1.20506260 93.911133 -69.045001
    Oben rechts KachelX + 1 24933 KachelY 25186 1.63925022 -1.20506260 93.922119 -69.045001
    Unten links KachelX 24932 KachelY + 1 25187 1.63905847 -1.20513117 93.911133 -69.048930
    Unten rechts KachelX + 1 24933 KachelY + 1 25187 1.63925022 -1.20513117 93.922119 -69.048930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20506260--1.20513117) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dl = 436.85947000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20506260--1.20513117) × R
    6.85700000000455e-05 × 6371000     		dr = 436.85947000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63905847-1.63925022) × cos(-1.20506260) × R
    0.000191750000000157 × 0.357634589966014 × 6371000     		do = 436.900452260497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63905847-1.63925022) × cos(-1.20513117) × R
    0.000191750000000157 × 0.357570554234937 × 6371000     		du = 436.82222369801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20506260)-sin(-1.20513117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357634589966014-0.357570554234937)×R²
    abs(1.63925022-1.63905847)×6.40357310774942e-05×R²
    0.000191750000000157×6.40357310774942e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.40357310774942e-05×40589641000000     		ar = 190847.012647187m²