Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24931 / 25194
↖ ↑ ↗
← S 69.076412°
E 93.900146°		 ← 436.27 m → S 69.076412°
E 93.911133°		 →
↑
436.22 m
↓
↑
436.22 m
↓
S 69.080335°
E 93.900146°		 ← 436.20 m →
190 296 m²		 S 69.080335°
E 93.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760848999023438 y=0.768875122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760848999023438 × 215)
    floor (0.760848999023438 × 32768)
    floor (24931.5)     		tx = 24931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768875122070312 × 215)
    floor (0.768875122070312 × 32768)
    floor (25194.5)     		ty = 25194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24931 / 25194 ti = "15/24931/25194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24931/25194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24931 ÷ 215
    24931 ÷ 32768     		x = 0.760833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25194 ÷ 215
    25194 ÷ 32768     		y = 0.76885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760833740234375 × 2 - 1) × π
    0.52166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63886672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63886672} λ = 1.63886672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68929634261078))-π/2
    2×atan(0.184649408211138)-π/2
    2×0.182592755126522-π/2
    0.365185510253043-1.57079632675     		φ = -1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63886672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.900146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24931 KachelY 25194 1.63886672 -1.20561082 93.900146 -69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 24932 KachelY 25194 1.63905847 -1.20561082 93.911133 -69.076412
    Unten links KachelX 24931 KachelY + 1 25195 1.63886672 -1.20567929 93.900146 -69.080335
    Unten rechts KachelX + 1 24932 KachelY + 1 25195 1.63905847 -1.20567929 93.911133 -69.080335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20561082--1.20567929) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dl = 436.222369999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20561082--1.20567929) × R
    6.84699999999872e-05 × 6371000     		dr = 436.222369999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63886672-1.63905847) × cos(-1.20561082) × R
    0.000191749999999935 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 436.274954240008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63886672-1.63905847) × cos(-1.20567929) × R
    0.000191749999999935 × 0.357058618883029 × 6371000     		du = 436.196823378152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20561082)-sin(-1.20567929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357058618883029)×R²
    abs(1.63905847-1.63886672)×6.39557560518367e-05×R²
    0.000191749999999935×6.39557560518367e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.39557560518367e-05×40589641000000     		ar = 190295.853369457m²