Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24930 / 25205
↖ ↑ ↗
← S 69.119527°
E 93.889160°		 ← 435.39 m → S 69.119527°
E 93.900146°		 →
↑
435.33 m
↓
↑
435.33 m
↓
S 69.123442°
E 93.889160°		 ← 435.32 m →
189 523 m²		 S 69.123442°
E 93.900146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760818481445312 y=0.769210815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760818481445312 × 215)
    floor (0.760818481445312 × 32768)
    floor (24930.5)     		tx = 24930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769210815429688 × 215)
    floor (0.769210815429688 × 32768)
    floor (25205.5)     		ty = 25205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24930 / 25205 ti = "15/24930/25205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24930/25205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24930 ÷ 215
    24930 ÷ 32768     		x = 0.76080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25205 ÷ 215
    25205 ÷ 32768     		y = 0.769195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76080322265625 × 2 - 1) × π
    0.5216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63867498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.53839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69140556619406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63867498} λ = 1.63867498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69140556619406))-π/2
    2×atan(0.184260351772445)-π/2
    2×0.182216500238784-π/2
    0.364433000477568-1.57079632675     		φ = -1.20636333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63867498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20636333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.119527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24930 KachelY 25205 1.63867498 -1.20636333 93.889160 -69.119527
    Oben rechts KachelX + 1 24931 KachelY 25205 1.63886672 -1.20636333 93.900146 -69.119527
    Unten links KachelX 24930 KachelY + 1 25206 1.63867498 -1.20643166 93.889160 -69.123442
    Unten rechts KachelX + 1 24931 KachelY + 1 25206 1.63886672 -1.20643166 93.900146 -69.123442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20636333--1.20643166) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dl = 435.33042999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20636333--1.20643166) × R
    6.83299999999498e-05 × 6371000     		dr = 435.33042999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63867498-1.63886672) × cos(-1.20636333) × R
    0.000191739999999996 × 0.356419585960465 × 6371000     		do = 435.393448186221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63867498-1.63886672) × cos(-1.20643166) × R
    0.000191739999999996 × 0.356355742632711 × 6371000     		du = 435.315458738646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20636333)-sin(-1.20643166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356419585960465-0.356355742632711)×R²
    abs(1.63886672-1.63867498)×6.38433277531658e-05×R²
    0.000191739999999996×6.38433277531658e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.38433277531658e-05×40589641000000     		ar = 189523.041501247m²