Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24928 / 42208
↖ ↑ ↗
← S 45.951150°
W 43.066406°		 ← 424.71 m → S 45.951150°
W 43.060913°		 →
↑
424.63 m
↓
↑
424.63 m
↓
S 45.954969°
W 43.066406°		 ← 424.68 m →
180 336 m²		 S 45.954969°
W 43.060913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380378723144531 y=0.644050598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380378723144531 × 216)
    floor (0.380378723144531 × 65536)
    floor (24928.5)     		tx = 24928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644050598144531 × 216)
    floor (0.644050598144531 × 65536)
    floor (42208.5)     		ty = 42208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24928 / 42208 ti = "16/24928/42208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24928/42208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24928 ÷ 216
    24928 ÷ 65536     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42208 ÷ 216
    42208 ÷ 65536     		y = 0.64404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90504866482666))-π/2
    2×atan(0.404522198621327)-π/2
    2×0.384398734851678-π/2
    0.768797469703356-1.57079632675     		φ = -0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24928 KachelY 42208 -0.75165059 -0.80199886 -43.066406 -45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 24929 KachelY 42208 -0.75155471 -0.80199886 -43.060913 -45.951150
    Unten links KachelX 24928 KachelY + 1 42209 -0.75165059 -0.80206551 -43.066406 -45.954969
    Unten rechts KachelX + 1 24929 KachelY + 1 42209 -0.75155471 -0.80206551 -43.060913 -45.954969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80199886--0.80206551) × R
    6.66500000000569e-05 × 6371000     		dl = 424.627150000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80199886--0.80206551) × R
    6.66500000000569e-05 × 6371000     		dr = 424.627150000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75155471) × cos(-0.80199886) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 424.707578401942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75155471) × cos(-0.80206551) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.695223518031044 × 6371000     		du = 424.678314920283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80199886)-sin(-0.80206551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.695223518031044)×R²
    abs(-0.75155471--0.75165059)×4.79060501896722e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79060501896722e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79060501896722e-05×40589641000000     		ar = 180336.15563259m²