Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24928 / 25195
↖ ↑ ↗
← S 69.080335°
E 93.867187°		 ← 436.20 m → S 69.080335°
E 93.878174°		 →
↑
436.16 m
↓
↑
436.16 m
↓
S 69.084257°
E 93.867187°		 ← 436.12 m →
190 234 m²		 S 69.084257°
E 93.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760757446289062 y=0.768905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760757446289062 × 215)
    floor (0.760757446289062 × 32768)
    floor (24928.5)     		tx = 24928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768905639648438 × 215)
    floor (0.768905639648438 × 32768)
    floor (25195.5)     		ty = 25195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24928 / 25195 ti = "15/24928/25195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24928/25195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24928 ÷ 215
    24928 ÷ 32768     		x = 0.7607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25195 ÷ 215
    25195 ÷ 32768     		y = 0.768890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.53778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68948809020926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63829148} λ = 1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68948809020926))-π/2
    2×atan(0.184614005524851)-π/2
    2×0.182558519494162-π/2
    0.365117038988324-1.57079632675     		φ = -1.20567929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20567929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.080335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24928 KachelY 25195 1.63829148 -1.20567929 93.867187 -69.080335
    Oben rechts KachelX + 1 24929 KachelY 25195 1.63848323 -1.20567929 93.878174 -69.080335
    Unten links KachelX 24928 KachelY + 1 25196 1.63829148 -1.20574775 93.867187 -69.084257
    Unten rechts KachelX + 1 24929 KachelY + 1 25196 1.63848323 -1.20574775 93.878174 -69.084257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20567929--1.20574775) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dl = 436.158660000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20567929--1.20574775) × R
    6.84600000000479e-05 × 6371000     		dr = 436.158660000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63829148-1.63848323) × cos(-1.20567929) × R
    0.000191750000000157 × 0.357058618883029 × 6371000     		do = 436.196823378657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63829148-1.63848323) × cos(-1.20574775) × R
    0.000191750000000157 × 0.3569946707941 × 6371000     		du = 436.118701883259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20567929)-sin(-1.20574775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357058618883029-0.3569946707941)×R²
    abs(1.63848323-1.63829148)×6.39480889287891e-05×R²
    0.000191750000000157×6.39480889287891e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.39480889287891e-05×40589641000000     		ar = 190233.985372253m²