Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24927 / 42203
↖ ↑ ↗
← S 45.932050°
W 43.071899°		 ← 424.81 m → S 45.932050°
W 43.066406°		 →
↑
424.82 m
↓
↑
424.82 m
↓
S 45.935871°
W 43.071899°		 ← 424.78 m →
180 461 m²		 S 45.935871°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380363464355469 y=0.643974304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380363464355469 × 216)
    floor (0.380363464355469 × 65536)
    floor (24927.5)     		tx = 24927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643974304199219 × 216)
    floor (0.643974304199219 × 65536)
    floor (42203.5)     		ty = 42203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24927 / 42203 ti = "16/24927/42203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24927/42203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24927 ÷ 216
    24927 ÷ 65536     		x = 0.380355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42203 ÷ 216
    42203 ÷ 65536     		y = 0.643966674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.239288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75174646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643966674804688 × 2 - 1) × π
    -0.287933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90456929583046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75174646} λ = -0.75174646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90456929583046))-π/2
    2×atan(0.404716160507564)-π/2
    2×0.384565409343213-π/2
    0.769130818686427-1.57079632675     		φ = -0.80166551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75174646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.071899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80166551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.932050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24927 KachelY 42203 -0.75174646 -0.80166551 -43.071899 -45.932050
    Oben rechts KachelX + 1 24928 KachelY 42203 -0.75165059 -0.80166551 -43.066406 -45.932050
    Unten links KachelX 24927 KachelY + 1 42204 -0.75174646 -0.80173219 -43.071899 -45.935871
    Unten rechts KachelX + 1 24928 KachelY + 1 42204 -0.75165059 -0.80173219 -43.066406 -45.935871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80166551--0.80173219) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dl = 424.818279999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80166551--0.80173219) × R
    6.66799999999856e-05 × 6371000     		dr = 424.818279999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75174646--0.75165059) × cos(-0.80166551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695510979851221 × 6371000     		do = 424.809600393833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75174646--0.75165059) × cos(-0.80173219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695463067693691 × 6371000     		du = 424.780336233979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80166551)-sin(-0.80173219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695510979851221-0.695463067693691)×R²
    abs(-0.75165059--0.75174646)×4.79121575296393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79121575296393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79121575296393e-05×40589641000000     		ar = 180460.667858711m²